Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82460 / 14743
↖ ↑ ↗
← N 79.986190°
E 46.483154°		 ← 53.11 m → N 79.986190°
E 46.485901°		 →
↑
53.13 m
↓
↑
53.13 m
↓
N 79.985712°
E 46.483154°		 ← 53.11 m →
2 822 m²		 N 79.985712°
E 46.485901°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82460 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14743 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629123687744141 y=0.112483978271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629123687744141 × 217)
    floor (0.629123687744141 × 131072)
    floor (82460.5)     		tx = 82460
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112483978271484 × 217)
    floor (0.112483978271484 × 131072)
    floor (14743.5)     		ty = 14743
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82460 / 14743 ti = "17/82460/14743"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82460/14743.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82460 ÷ 217
    82460 ÷ 131072     		x = 0.629119873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14743 ÷ 217
    14743 ÷ 131072     		y = 0.112480163574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629119873046875 × 2 - 1) × π
    0.25823974609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.81128409
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112480163574219 × 2 - 1) × π
    0.775039672851562 × 3.1415926535     		Φ = 2.43485894240151
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81128409} λ = 0.81128409}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43485894240151))-π/2
    2×atan(11.4142085389608)-π/2
    2×1.48340934722373-π/2
    2.96681869444745-1.57079632675     		φ = 1.39602237
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81128409} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.483154°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39602237 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.986190°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82460 KachelY 14743 0.81128409 1.39602237 46.483154 79.986190
    Oben rechts KachelX + 1 82461 KachelY 14743 0.81133203 1.39602237 46.485901 79.986190
    Unten links KachelX 82460 KachelY + 1 14744 0.81128409 1.39601403 46.483154 79.985712
    Unten rechts KachelX + 1 82461 KachelY + 1 14744 0.81133203 1.39601403 46.485901 79.985712
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39602237-1.39601403) × R
    8.34000000016211e-06 × 6371000     		dl = 53.1341400010328m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39602237-1.39601403) × R
    8.34000000016211e-06 × 6371000     		dr = 53.1341400010328m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81128409-0.81133203) × cos(1.39602237) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.173885542404413 × 6371000     		do = 53.1091204641345m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81128409-0.81133203) × cos(1.39601403) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.173893755345719 × 6371000     		du = 53.1116289078104m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39602237)-sin(1.39601403))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173885542404413-0.173893755345719)×R²
    abs(0.81133203-0.81128409)×8.21294130606831e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.21294130606831e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.21294130606831e-06×40589641000000     		ar = 2821.97408414785m²