Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82459 / 19161
↖ ↑ ↗
← N 77.640658°
E 46.480408°		 ← 65.37 m → N 77.640658°
E 46.483154°		 →
↑
65.37 m
↓
↑
65.37 m
↓
N 77.640070°
E 46.480408°		 ← 65.38 m →
4 273 m²		 N 77.640070°
E 46.483154°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82459 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19161 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629116058349609 y=0.146190643310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629116058349609 × 217)
    floor (0.629116058349609 × 131072)
    floor (82459.5)     		tx = 82459
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146190643310547 × 217)
    floor (0.146190643310547 × 131072)
    floor (19161.5)     		ty = 19161
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82459 / 19161 ti = "17/82459/19161"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82459/19161.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82459 ÷ 217
    82459 ÷ 131072     		x = 0.629112243652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19161 ÷ 217
    19161 ÷ 131072     		y = 0.146186828613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629112243652344 × 2 - 1) × π
    0.258224487304688 × 3.1415926535     		Λ = 0.81123615
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.146186828613281 × 2 - 1) × π
    0.707626342773438 × 3.1415926535     		Φ = 2.2230737198801
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81123615} λ = 0.81123615}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2230737198801))-π/2
    2×atan(9.23567516070283)-π/2
    2×1.46294071675167-π/2
    2.92588143350334-1.57079632675     		φ = 1.35508511
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81123615} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.480408°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35508511 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.640658°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82459 KachelY 19161 0.81123615 1.35508511 46.480408 77.640658
    Oben rechts KachelX + 1 82460 KachelY 19161 0.81128409 1.35508511 46.483154 77.640658
    Unten links KachelX 82459 KachelY + 1 19162 0.81123615 1.35507485 46.480408 77.640070
    Unten rechts KachelX + 1 82460 KachelY + 1 19162 0.81128409 1.35507485 46.483154 77.640070
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35508511-1.35507485) × R
    1.02600000000397e-05 × 6371000     		dl = 65.3664600002528m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35508511-1.35507485) × R
    1.02600000000397e-05 × 6371000     		dr = 65.3664600002528m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81123615-0.81128409) × cos(1.35508511) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.21404221630329 × 6371000     		do = 65.3740023056296m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81123615-0.81128409) × cos(1.35507485) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.214052238510479 × 6371000     		du = 65.3770633456768m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35508511)-sin(1.35507485))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21404221630329-0.214052238510479)×R²
    abs(0.81128409-0.81123615)×1.00222071893752e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.00222071893752e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.00222071893752e-05×40589641000000     		ar = 4273.36715145847m²