Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82459 / 14742
↖ ↑ ↗
← N 79.986667°
E 46.480408°		 ← 53.11 m → N 79.986667°
E 46.483154°		 →
↑
53.07 m
↓
↑
53.07 m
↓
N 79.986190°
E 46.480408°		 ← 53.11 m →
2 818 m²		 N 79.986190°
E 46.483154°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82459 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14742 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629116058349609 y=0.112476348876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629116058349609 × 217)
    floor (0.629116058349609 × 131072)
    floor (82459.5)     		tx = 82459
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112476348876953 × 217)
    floor (0.112476348876953 × 131072)
    floor (14742.5)     		ty = 14742
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82459 / 14742 ti = "17/82459/14742"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82459/14742.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82459 ÷ 217
    82459 ÷ 131072     		x = 0.629112243652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14742 ÷ 217
    14742 ÷ 131072     		y = 0.112472534179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629112243652344 × 2 - 1) × π
    0.258224487304688 × 3.1415926535     		Λ = 0.81123615
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112472534179688 × 2 - 1) × π
    0.775054931640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.43490687930113
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81123615} λ = 0.81123615}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43490687930113))-π/2
    2×atan(11.4147557138446)-π/2
    2×1.48341351489231-π/2
    2.96682702978461-1.57079632675     		φ = 1.39603070
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81123615} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.480408°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39603070 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.986667°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82459 KachelY 14742 0.81123615 1.39603070 46.480408 79.986667
    Oben rechts KachelX + 1 82460 KachelY 14742 0.81128409 1.39603070 46.483154 79.986667
    Unten links KachelX 82459 KachelY + 1 14743 0.81123615 1.39602237 46.480408 79.986190
    Unten rechts KachelX + 1 82460 KachelY + 1 14743 0.81128409 1.39602237 46.483154 79.986190
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39603070-1.39602237) × R
    8.33000000000084e-06 × 6371000     		dl = 53.0704300000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39603070-1.39602237) × R
    8.33000000000084e-06 × 6371000     		dr = 53.0704300000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81123615-0.81128409) × cos(1.39603070) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.173877339298686 × 6371000     		do = 53.1066150244974m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81123615-0.81128409) × cos(1.39602237) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.173885542404413 × 6371000     		du = 53.1091204641345m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39603070)-sin(1.39602237))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173877339298686-0.173885542404413)×R²
    abs(0.81128409-0.81123615)×8.20310572743899e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.20310572743899e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.20310572743899e-06×40589641000000     		ar = 2818.4573774703m²