Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82458 / 14500
↖ ↑ ↗
← N 80.101581°
E 46.477661°		 ← 52.49 m → N 80.101581°
E 46.480408°		 →
↑
52.50 m
↓
↑
52.50 m
↓
N 80.101109°
E 46.477661°		 ← 52.49 m →
2 756 m²		 N 80.101109°
E 46.480408°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82458 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14500 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629108428955078 y=0.110630035400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629108428955078 × 217)
    floor (0.629108428955078 × 131072)
    floor (82458.5)     		tx = 82458
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110630035400391 × 217)
    floor (0.110630035400391 × 131072)
    floor (14500.5)     		ty = 14500
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82458 / 14500 ti = "17/82458/14500"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82458/14500.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82458 ÷ 217
    82458 ÷ 131072     		x = 0.629104614257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14500 ÷ 217
    14500 ÷ 131072     		y = 0.110626220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629104614257812 × 2 - 1) × π
    0.258209228515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81118822
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.110626220703125 × 2 - 1) × π
    0.77874755859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.44650760900919
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81118822} λ = 0.81118822}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44650760900919))-π/2
    2×atan(11.5479462696887)-π/2
    2×1.48441632722486-π/2
    2.96883265444971-1.57079632675     		φ = 1.39803633
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81118822} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.477661°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39803633 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.101581°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82458 KachelY 14500 0.81118822 1.39803633 46.477661 80.101581
    Oben rechts KachelX + 1 82459 KachelY 14500 0.81123615 1.39803633 46.480408 80.101581
    Unten links KachelX 82458 KachelY + 1 14501 0.81118822 1.39802809 46.477661 80.101109
    Unten rechts KachelX + 1 82459 KachelY + 1 14501 0.81123615 1.39802809 46.480408 80.101109
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39803633-1.39802809) × R
    8.24000000010372e-06 × 6371000     		dl = 52.4970400006608m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39803633-1.39802809) × R
    8.24000000010372e-06 × 6371000     		dr = 52.4970400006608m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81118822-0.81123615) × cos(1.39803633) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.17190191203137 × 6371000     		do = 52.4923168188125m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81118822-0.81123615) × cos(1.39802809) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.171910029365478 × 6371000     		du = 52.494795544434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39803633)-sin(1.39802809))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17190191203137-0.171910029365478)×R²
    abs(0.81123615-0.81118822)×8.11733410818749e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.11733410818749e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.11733410818749e-06×40589641000000     		ar = 2755.75631866045m²