Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82457 / 14491
↖ ↑ ↗
← N 80.105830°
E 46.474915°		 ← 52.48 m → N 80.105830°
E 46.477661°		 →
↑
52.50 m
↓
↑
52.50 m
↓
N 80.105358°
E 46.474915°		 ← 52.48 m →
2 755 m²		 N 80.105358°
E 46.477661°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82457 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14491 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629100799560547 y=0.110561370849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629100799560547 × 217)
    floor (0.629100799560547 × 131072)
    floor (82457.5)     		tx = 82457
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110561370849609 × 217)
    floor (0.110561370849609 × 131072)
    floor (14491.5)     		ty = 14491
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82457 / 14491 ti = "17/82457/14491"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82457/14491.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82457 ÷ 217
    82457 ÷ 131072     		x = 0.629096984863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14491 ÷ 217
    14491 ÷ 131072     		y = 0.110557556152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629096984863281 × 2 - 1) × π
    0.258193969726562 × 3.1415926535     		Λ = 0.81114028
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.110557556152344 × 2 - 1) × π
    0.778884887695312 × 3.1415926535     		Φ = 2.44693904110577
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81114028} λ = 0.81114028}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44693904110577))-π/2
    2×atan(11.5529294992443)-π/2
    2×1.48445340134749-π/2
    2.96890680269497-1.57079632675     		φ = 1.39811048
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81114028} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.474915°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39811048 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.105830°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82457 KachelY 14491 0.81114028 1.39811048 46.474915 80.105830
    Oben rechts KachelX + 1 82458 KachelY 14491 0.81118822 1.39811048 46.477661 80.105830
    Unten links KachelX 82457 KachelY + 1 14492 0.81114028 1.39810224 46.474915 80.105358
    Unten rechts KachelX + 1 82458 KachelY + 1 14492 0.81118822 1.39810224 46.477661 80.105358
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39811048-1.39810224) × R
    8.23999999988168e-06 × 6371000     		dl = 52.4970399992462m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39811048-1.39810224) × R
    8.23999999988168e-06 × 6371000     		dr = 52.4970399992462m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81114028-0.81118822) × cos(1.39811048) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.171828865350504 × 6371000     		do = 52.4809583530035m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81114028-0.81118822) × cos(1.39810224) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.171836982789623 × 6371000     		du = 52.4834376278535m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39811048)-sin(1.39810224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.171828865350504-0.171836982789623)×R²
    abs(0.81118822-0.81114028)×8.11743911952045e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.11743911952045e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.11743911952045e-06×40589641000000     		ar = 2755.16004729072m²