Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82456 / 19160
↖ ↑ ↗
← N 77.641246°
E 46.472168°		 ← 65.37 m → N 77.641246°
E 46.474915°		 →
↑
65.37 m
↓
↑
65.37 m
↓
N 77.640658°
E 46.472168°		 ← 65.37 m →
4 273 m²		 N 77.640658°
E 46.474915°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19160 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629093170166016 y=0.146183013916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629093170166016 × 217)
    floor (0.629093170166016 × 131072)
    floor (82456.5)     		tx = 82456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146183013916016 × 217)
    floor (0.146183013916016 × 131072)
    floor (19160.5)     		ty = 19160
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82456 / 19160 ti = "17/82456/19160"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82456/19160.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82456 ÷ 217
    82456 ÷ 131072     		x = 0.62908935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19160 ÷ 217
    19160 ÷ 131072     		y = 0.14617919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62908935546875 × 2 - 1) × π
    0.2581787109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.81109234
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14617919921875 × 2 - 1) × π
    0.7076416015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.22312165677972
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81109234} λ = 0.81109234}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22312165677972))-π/2
    2×atan(9.23611790094764)-π/2
    2×1.46294584689175-π/2
    2.9258916937835-1.57079632675     		φ = 1.35509537
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81109234} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.472168°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35509537 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.641246°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82456 KachelY 19160 0.81109234 1.35509537 46.472168 77.641246
    Oben rechts KachelX + 1 82457 KachelY 19160 0.81114028 1.35509537 46.474915 77.641246
    Unten links KachelX 82456 KachelY + 1 19161 0.81109234 1.35508511 46.472168 77.640658
    Unten rechts KachelX + 1 82457 KachelY + 1 19161 0.81114028 1.35508511 46.474915 77.640658
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35509537-1.35508511) × R
    1.02599999998176e-05 × 6371000     		dl = 65.3664599988382m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35509537-1.35508511) × R
    1.02599999998176e-05 × 6371000     		dr = 65.3664599988382m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81109234-0.81114028) × cos(1.35509537) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.214032194073569 × 6371000     		do = 65.370941258852m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81109234-0.81114028) × cos(1.35508511) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.21404221630329 × 6371000     		du = 65.374002305781m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35509537)-sin(1.35508511))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.214032194073569-0.21404221630329)×R²
    abs(0.81114028-0.81109234)×1.00222297208519e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.00222297208519e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.00222297208519e-05×40589641000000     		ar = 4273.167061878m²