Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82456 / 18957
↖ ↑ ↗
← N 77.760015°
E 46.472168°		 ← 64.75 m → N 77.760015°
E 46.474915°		 →
↑
64.79 m
↓
↑
64.79 m
↓
N 77.759432°
E 46.472168°		 ← 64.76 m →
4 196 m²		 N 77.759432°
E 46.474915°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18957 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629093170166016 y=0.144634246826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629093170166016 × 217)
    floor (0.629093170166016 × 131072)
    floor (82456.5)     		tx = 82456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144634246826172 × 217)
    floor (0.144634246826172 × 131072)
    floor (18957.5)     		ty = 18957
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82456 / 18957 ti = "17/82456/18957"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82456/18957.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82456 ÷ 217
    82456 ÷ 131072     		x = 0.62908935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18957 ÷ 217
    18957 ÷ 131072     		y = 0.144630432128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62908935546875 × 2 - 1) × π
    0.2581787109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.81109234
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144630432128906 × 2 - 1) × π
    0.710739135742188 × 3.1415926535     		Φ = 2.2328528474026
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81109234} λ = 0.81109234}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2328528474026))-π/2
    2×atan(9.32643505887502)-π/2
    2×1.46398230626547-π/2
    2.92796461253093-1.57079632675     		φ = 1.35716829
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81109234} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.472168°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35716829 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.760015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82456 KachelY 18957 0.81109234 1.35716829 46.472168 77.760015
    Oben rechts KachelX + 1 82457 KachelY 18957 0.81114028 1.35716829 46.474915 77.760015
    Unten links KachelX 82456 KachelY + 1 18958 0.81109234 1.35715812 46.472168 77.759432
    Unten rechts KachelX + 1 82457 KachelY + 1 18958 0.81114028 1.35715812 46.474915 77.759432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35716829-1.35715812) × R
    1.01699999999205e-05 × 6371000     		dl = 64.7930699994936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35716829-1.35715812) × R
    1.01699999999205e-05 × 6371000     		dr = 64.7930699994936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81109234-0.81114028) × cos(1.35716829) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.212006852266079 × 6371000     		do = 64.7523497385454m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81109234-0.81114028) × cos(1.35715812) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.2120167910725 × 6371000     		du = 64.7553853058513m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35716829)-sin(1.35715812))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212006852266079-0.2120167910725)×R²
    abs(0.81114028-0.81109234)×9.93880642105593e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.93880642105593e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.93880642105593e-06×40589641000000     		ar = 4195.60187111013m²