Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 82456 / 18950
↖ ↑ ↗
← N 77.764090°
E 46.472168°		 ← 64.73 m → N 77.764090°
E 46.474915°		 →
↑
64.73 m
↓
↑
64.73 m
↓
N 77.763508°
E 46.472168°		 ← 64.73 m →
4 190 m²		 N 77.763508°
E 46.474915°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18950 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629093170166016 y=0.144580841064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629093170166016 × 217)
    floor (0.629093170166016 × 131072)
    floor (82456.5)     		tx = 82456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144580841064453 × 217)
    floor (0.144580841064453 × 131072)
    floor (18950.5)     		ty = 18950
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82456 / 18950 ti = "17/82456/18950"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82456/18950.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82456 ÷ 217
    82456 ÷ 131072     		x = 0.62908935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18950 ÷ 217
    18950 ÷ 131072     		y = 0.144577026367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62908935546875 × 2 - 1) × π
    0.2581787109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.81109234
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144577026367188 × 2 - 1) × π
    0.710845947265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.23318840569994
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81109234} λ = 0.81109234}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23318840569994))-π/2
    2×atan(9.32956514667773)-π/2
    2×1.46401787076366-π/2
    2.92803574152732-1.57079632675     		φ = 1.35723941
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81109234} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.472168°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35723941 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.764090°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82456 KachelY 18950 0.81109234 1.35723941 46.472168 77.764090
    Oben rechts KachelX + 1 82457 KachelY 18950 0.81114028 1.35723941 46.474915 77.764090
    Unten links KachelX 82456 KachelY + 1 18951 0.81109234 1.35722925 46.472168 77.763508
    Unten rechts KachelX + 1 82457 KachelY + 1 18951 0.81114028 1.35722925 46.474915 77.763508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35723941-1.35722925) × R
    1.01599999999813e-05 × 6371000     		dl = 64.7293599998808m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35723941-1.35722925) × R
    1.01599999999813e-05 × 6371000     		dr = 64.7293599998808m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81109234-0.81114028) × cos(1.35723941) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.211937348417043 × 6371000     		do = 64.7311214740207m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81109234-0.81114028) × cos(1.35722925) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.211947277603974 × 6371000     		du = 64.7341541032867m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35723941)-sin(1.35722925))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211937348417043-0.211947277603974)×R²
    abs(0.81114028-0.81109234)×9.92918693110134e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.92918693110134e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.92918693110134e-06×40589641000000     		ar = 4190.10221517768m²