Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82455 / 14498
↖ ↑ ↗
← N 80.102526°
E 46.469421°		 ← 52.50 m → N 80.102526°
E 46.472168°		 →
↑
52.50 m
↓
↑
52.50 m
↓
N 80.102053°
E 46.469421°		 ← 52.50 m →
2 756 m²		 N 80.102053°
E 46.472168°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14498 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629085540771484 y=0.110614776611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629085540771484 × 217)
    floor (0.629085540771484 × 131072)
    floor (82455.5)     		tx = 82455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110614776611328 × 217)
    floor (0.110614776611328 × 131072)
    floor (14498.5)     		ty = 14498
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82455 / 14498 ti = "17/82455/14498"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82455/14498.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82455 ÷ 217
    82455 ÷ 131072     		x = 0.629081726074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14498 ÷ 217
    14498 ÷ 131072     		y = 0.110610961914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629081726074219 × 2 - 1) × π
    0.258163452148438 × 3.1415926535     		Λ = 0.81104440
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.110610961914062 × 2 - 1) × π
    0.778778076171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.44660348280843
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81104440} λ = 0.81104440}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44660348280843))-π/2
    2×atan(11.5490534682458)-π/2
    2×1.48442456728054-π/2
    2.96884913456108-1.57079632675     		φ = 1.39805281
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81104440} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.469421°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39805281 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.102526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82455 KachelY 14498 0.81104440 1.39805281 46.469421 80.102526
    Oben rechts KachelX + 1 82456 KachelY 14498 0.81109234 1.39805281 46.472168 80.102526
    Unten links KachelX 82455 KachelY + 1 14499 0.81104440 1.39804457 46.469421 80.102053
    Unten rechts KachelX + 1 82456 KachelY + 1 14499 0.81109234 1.39804457 46.472168 80.102053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39805281-1.39804457) × R
    8.24000000010372e-06 × 6371000     		dl = 52.4970400006608m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39805281-1.39804457) × R
    8.24000000010372e-06 × 6371000     		dr = 52.4970400006608m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81104440-0.81109234) × cos(1.39805281) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.171885677328139 × 6371000     		do = 52.4983101933136m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81104440-0.81109234) × cos(1.39804457) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.17189379468559 × 6371000     		du = 52.5007894432199m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39805281)-sin(1.39804457))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.171885677328139-0.17189379468559)×R²
    abs(0.81109234-0.81104440)×8.11735745107067e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.11735745107067e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.11735745107067e-06×40589641000000     		ar = 2756.07096679947m²