Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 82451 / 15878
↖ ↑ ↗
← N 79.429348°
E 46.458435°		 ← 56.02 m → N 79.429348°
E 46.461181°		 →
↑
56.06 m
↓
↑
56.06 m
↓
N 79.428844°
E 46.458435°		 ← 56.02 m →
3 141 m²		 N 79.428844°
E 46.461181°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82451 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15878 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629055023193359 y=0.121143341064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629055023193359 × 217)
    floor (0.629055023193359 × 131072)
    floor (82451.5)     		tx = 82451
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121143341064453 × 217)
    floor (0.121143341064453 × 131072)
    floor (15878.5)     		ty = 15878
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82451 / 15878 ti = "17/82451/15878"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82451/15878.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82451 ÷ 217
    82451 ÷ 131072     		x = 0.629051208496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15878 ÷ 217
    15878 ÷ 131072     		y = 0.121139526367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629051208496094 × 2 - 1) × π
    0.258102416992188 × 3.1415926535     		Λ = 0.81085266
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121139526367188 × 2 - 1) × π
    0.757720947265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.38045056133275
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81085266} λ = 0.81085266}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38045056133275))-π/2
    2×atan(10.809772232258)-π/2
    2×1.47854998656336-π/2
    2.95709997312672-1.57079632675     		φ = 1.38630365
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81085266} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.458435°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38630365 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.429348°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82451 KachelY 15878 0.81085266 1.38630365 46.458435 79.429348
    Oben rechts KachelX + 1 82452 KachelY 15878 0.81090059 1.38630365 46.461181 79.429348
    Unten links KachelX 82451 KachelY + 1 15879 0.81085266 1.38629485 46.458435 79.428844
    Unten rechts KachelX + 1 82452 KachelY + 1 15879 0.81090059 1.38629485 46.461181 79.428844
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38630365-1.38629485) × R
    8.80000000003101e-06 × 6371000     		dl = 56.0648000001975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38630365-1.38629485) × R
    8.80000000003101e-06 × 6371000     		dr = 56.0648000001975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81085266-0.81090059) × cos(1.38630365) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.183447843508562 × 6371000     		do = 56.0180058929312m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81085266-0.81090059) × cos(1.38629485) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.18345649416057 × 6371000     		du = 56.0206474735892m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38630365)-sin(1.38629485))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183447843508562-0.18345649416057)×R²
    abs(0.81090059-0.81085266)×8.65065200822412e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.65065200822412e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.65065200822412e-06×40589641000000     		ar = 3140.712346635m²