Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82451 / 15874
↖ ↑ ↗
← N 79.431363°
E 46.458435°		 ← 56.01 m → N 79.431363°
E 46.461181°		 →
↑
56 m
↓
↑
56 m
↓
N 79.430860°
E 46.458435°		 ← 56.01 m →
3 137 m²		 N 79.430860°
E 46.461181°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82451 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15874 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629055023193359 y=0.121112823486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629055023193359 × 217)
    floor (0.629055023193359 × 131072)
    floor (82451.5)     		tx = 82451
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121112823486328 × 217)
    floor (0.121112823486328 × 131072)
    floor (15874.5)     		ty = 15874
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82451 / 15874 ti = "17/82451/15874"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82451/15874.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82451 ÷ 217
    82451 ÷ 131072     		x = 0.629051208496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15874 ÷ 217
    15874 ÷ 131072     		y = 0.121109008789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629051208496094 × 2 - 1) × π
    0.258102416992188 × 3.1415926535     		Λ = 0.81085266
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121109008789062 × 2 - 1) × π
    0.757781982421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.38064230893123
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81085266} λ = 0.81085266}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38064230893123))-π/2
    2×atan(10.8118451788586)-π/2
    2×1.47856757274793-π/2
    2.95713514549585-1.57079632675     		φ = 1.38633882
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81085266} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.458435°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38633882 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.431363°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82451 KachelY 15874 0.81085266 1.38633882 46.458435 79.431363
    Oben rechts KachelX + 1 82452 KachelY 15874 0.81090059 1.38633882 46.461181 79.431363
    Unten links KachelX 82451 KachelY + 1 15875 0.81085266 1.38633003 46.458435 79.430860
    Unten rechts KachelX + 1 82452 KachelY + 1 15875 0.81090059 1.38633003 46.461181 79.430860
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38633882-1.38633003) × R
    8.78999999986974e-06 × 6371000     		dl = 56.0010899991701m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38633882-1.38633003) × R
    8.78999999986974e-06 × 6371000     		dr = 56.0010899991701m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81085266-0.81090059) × cos(1.38633882) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.183413270249551 × 6371000     		do = 56.0074485323758m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81085266-0.81090059) × cos(1.38633003) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.183421911127989 × 6371000     		du = 56.0100871285565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38633882)-sin(1.38633003))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183413270249551-0.183421911127989)×R²
    abs(0.81090059-0.81085266)×8.64087843760464e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.64087843760464e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.64087843760464e-06×40589641000000     		ar = 3136.55204799149m²