Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82449 / 15877
↖ ↑ ↗
← N 79.429852°
E 46.452942°		 ← 56.03 m → N 79.429852°
E 46.455688°		 →
↑
56 m
↓
↑
56 m
↓
N 79.429348°
E 46.452942°		 ← 56.03 m →
3 138 m²		 N 79.429348°
E 46.455688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82449 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15877 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629039764404297 y=0.121135711669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629039764404297 × 217)
    floor (0.629039764404297 × 131072)
    floor (82449.5)     		tx = 82449
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121135711669922 × 217)
    floor (0.121135711669922 × 131072)
    floor (15877.5)     		ty = 15877
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82449 / 15877 ti = "17/82449/15877"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82449/15877.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82449 ÷ 217
    82449 ÷ 131072     		x = 0.629035949707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15877 ÷ 217
    15877 ÷ 131072     		y = 0.121131896972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629035949707031 × 2 - 1) × π
    0.258071899414062 × 3.1415926535     		Λ = 0.81075678
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121131896972656 × 2 - 1) × π
    0.757736206054688 × 3.1415926535     		Φ = 2.38049849823237
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81075678} λ = 0.81075678}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38049849823237))-π/2
    2×atan(10.8102904316448)-π/2
    2×1.47855438342028-π/2
    2.95710876684055-1.57079632675     		φ = 1.38631244
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81075678} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.452942°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38631244 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.429852°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82449 KachelY 15877 0.81075678 1.38631244 46.452942 79.429852
    Oben rechts KachelX + 1 82450 KachelY 15877 0.81080472 1.38631244 46.455688 79.429852
    Unten links KachelX 82449 KachelY + 1 15878 0.81075678 1.38630365 46.452942 79.429348
    Unten rechts KachelX + 1 82450 KachelY + 1 15878 0.81080472 1.38630365 46.455688 79.429348
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38631244-1.38630365) × R
    8.78999999986974e-06 × 6371000     		dl = 56.0010899991701m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38631244-1.38630365) × R
    8.78999999986974e-06 × 6371000     		dr = 56.0010899991701m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81075678-0.81080472) × cos(1.38631244) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.183439202672659 × 6371000     		do = 56.0270542213997m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81075678-0.81080472) × cos(1.38630365) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.183447843508562 × 6371000     		du = 56.0296933550998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38631244)-sin(1.38630365))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183439202672659-0.183447843508562)×R²
    abs(0.81080472-0.81075678)×8.64083590368381e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.64083590368381e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.64083590368381e-06×40589641000000     		ar = 3137.65000313837m²