Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82448 / 18937
↖ ↑ ↗
← N 77.771655°
E 46.450196°		 ← 64.68 m → N 77.771655°
E 46.452942°		 →
↑
64.67 m
↓
↑
64.67 m
↓
N 77.771074°
E 46.450196°		 ← 64.68 m →
4 183 m²		 N 77.771074°
E 46.452942°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82448 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18937 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629032135009766 y=0.144481658935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629032135009766 × 217)
    floor (0.629032135009766 × 131072)
    floor (82448.5)     		tx = 82448
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144481658935547 × 217)
    floor (0.144481658935547 × 131072)
    floor (18937.5)     		ty = 18937
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82448 / 18937 ti = "17/82448/18937"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82448/18937.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82448 ÷ 217
    82448 ÷ 131072     		x = 0.6290283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18937 ÷ 217
    18937 ÷ 131072     		y = 0.144477844238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6290283203125 × 2 - 1) × π
    0.258056640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81070885
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144477844238281 × 2 - 1) × π
    0.711044311523438 × 3.1415926535     		Φ = 2.233811585395
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81070885} λ = 0.81070885}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.233811585395))-π/2
    2×atan(9.33538095419925)-π/2
    2×1.464083888183-π/2
    2.928167776366-1.57079632675     		φ = 1.35737145
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81070885} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.450196°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35737145 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.771655°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82448 KachelY 18937 0.81070885 1.35737145 46.450196 77.771655
    Oben rechts KachelX + 1 82449 KachelY 18937 0.81075678 1.35737145 46.452942 77.771655
    Unten links KachelX 82448 KachelY + 1 18938 0.81070885 1.35736130 46.450196 77.771074
    Unten rechts KachelX + 1 82449 KachelY + 1 18938 0.81075678 1.35736130 46.452942 77.771074
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35737145-1.35736130) × R
    1.01500000000421e-05 × 6371000     		dl = 64.665650000268m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35737145-1.35736130) × R
    1.01500000000421e-05 × 6371000     		dr = 64.665650000268m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81070885-0.81075678) × cos(1.35737145) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.211808306088921 × 6371000     		do = 64.6782143180641m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81070885-0.81075678) × cos(1.35736130) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.211818225787001 × 6371000     		du = 64.6812434172068m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35737145)-sin(1.35736130))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211808306088921-0.211818225787001)×R²
    abs(0.81075678-0.81070885)×9.91969808000759e-06×R²
    4.79299999999183e-05×9.91969808000759e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×9.91969808000759e-06×40589641000000     		ar = 4182.55670912032m²