Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 82447 / 18936
↖ ↑ ↗
← N 77.772237°
E 46.447449°		 ← 64.69 m → N 77.772237°
E 46.450196°		 →
↑
64.67 m
↓
↑
64.67 m
↓
N 77.771655°
E 46.447449°		 ← 64.69 m →
4 183 m²		 N 77.771655°
E 46.450196°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82447 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18936 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629024505615234 y=0.144474029541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629024505615234 × 217)
    floor (0.629024505615234 × 131072)
    floor (82447.5)     		tx = 82447
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144474029541016 × 217)
    floor (0.144474029541016 × 131072)
    floor (18936.5)     		ty = 18936
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82447 / 18936 ti = "17/82447/18936"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82447/18936.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82447 ÷ 217
    82447 ÷ 131072     		x = 0.629020690917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18936 ÷ 217
    18936 ÷ 131072     		y = 0.14447021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629020690917969 × 2 - 1) × π
    0.258041381835938 × 3.1415926535     		Λ = 0.81066091
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14447021484375 × 2 - 1) × π
    0.7110595703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.23385952229462
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81066091} λ = 0.81066091}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23385952229462))-π/2
    2×atan(9.33582847414524)-π/2
    2×1.46408896478085-π/2
    2.92817792956169-1.57079632675     		φ = 1.35738160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81066091} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.447449°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35738160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.772237°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82447 KachelY 18936 0.81066091 1.35738160 46.447449 77.772237
    Oben rechts KachelX + 1 82448 KachelY 18936 0.81070885 1.35738160 46.450196 77.772237
    Unten links KachelX 82447 KachelY + 1 18937 0.81066091 1.35737145 46.447449 77.771655
    Unten rechts KachelX + 1 82448 KachelY + 1 18937 0.81070885 1.35737145 46.450196 77.771655
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35738160-1.35737145) × R
    1.01500000000421e-05 × 6371000     		dl = 64.665650000268m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35738160-1.35737145) × R
    1.01500000000421e-05 × 6371000     		dr = 64.665650000268m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81066091-0.81070885) × cos(1.35738160) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.21179838636902 × 6371000     		do = 64.6886788876713m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81066091-0.81070885) × cos(1.35737145) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.211808306088921 × 6371000     		du = 64.6917086254627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35738160)-sin(1.35737145))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21179838636902-0.211808306088921)×R²
    abs(0.81070885-0.81066091)×9.91971990105256e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.91971990105256e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.91971990105256e-06×40589641000000     		ar = 4183.23342802437m²