Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82447 / 15879
↖ ↑ ↗
← N 79.428844°
E 46.447449°		 ← 56.03 m → N 79.428844°
E 46.450196°		 →
↑
56 m
↓
↑
56 m
↓
N 79.428340°
E 46.447449°		 ← 56.03 m →
3 138 m²		 N 79.428340°
E 46.450196°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82447 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15879 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629024505615234 y=0.121150970458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629024505615234 × 217)
    floor (0.629024505615234 × 131072)
    floor (82447.5)     		tx = 82447
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121150970458984 × 217)
    floor (0.121150970458984 × 131072)
    floor (15879.5)     		ty = 15879
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82447 / 15879 ti = "17/82447/15879"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82447/15879.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82447 ÷ 217
    82447 ÷ 131072     		x = 0.629020690917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15879 ÷ 217
    15879 ÷ 131072     		y = 0.121147155761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629020690917969 × 2 - 1) × π
    0.258041381835938 × 3.1415926535     		Λ = 0.81066091
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121147155761719 × 2 - 1) × π
    0.757705688476562 × 3.1415926535     		Φ = 2.38040262443313
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81066091} λ = 0.81066091}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38040262443313))-π/2
    2×atan(10.8092540577115)-π/2
    2×1.47854558949924-π/2
    2.95709117899848-1.57079632675     		φ = 1.38629485
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81066091} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.447449°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38629485 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.428844°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82447 KachelY 15879 0.81066091 1.38629485 46.447449 79.428844
    Oben rechts KachelX + 1 82448 KachelY 15879 0.81070885 1.38629485 46.450196 79.428844
    Unten links KachelX 82447 KachelY + 1 15880 0.81066091 1.38628606 46.447449 79.428340
    Unten rechts KachelX + 1 82448 KachelY + 1 15880 0.81070885 1.38628606 46.450196 79.428340
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38629485-1.38628606) × R
    8.79000000009178e-06 × 6371000     		dl = 56.0010900005847m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38629485-1.38628606) × R
    8.79000000009178e-06 × 6371000     		dr = 56.0010900005847m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81066091-0.81070885) × cos(1.38629485) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.18345649416057 × 6371000     		do = 56.0323354868909m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81066091-0.81070885) × cos(1.38628606) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.18346513496811 × 6371000     		du = 56.0349746119278m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38629485)-sin(1.38628606))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18345649416057-0.18346513496811)×R²
    abs(0.81070885-0.81066091)×8.64080753926189e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.64080753926189e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.64080753926189e-06×40589641000000     		ar = 3137.94575958118m²