Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82446 / 18938
↖ ↑ ↗
← N 77.771074°
E 46.444702°		 ← 64.69 m → N 77.771074°
E 46.447449°		 →
↑
64.73 m
↓
↑
64.73 m
↓
N 77.770492°
E 46.444702°		 ← 64.70 m →
4 188 m²		 N 77.770492°
E 46.447449°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82446 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18938 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629016876220703 y=0.144489288330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629016876220703 × 217)
    floor (0.629016876220703 × 131072)
    floor (82446.5)     		tx = 82446
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144489288330078 × 217)
    floor (0.144489288330078 × 131072)
    floor (18938.5)     		ty = 18938
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82446 / 18938 ti = "17/82446/18938"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82446/18938.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82446 ÷ 217
    82446 ÷ 131072     		x = 0.629013061523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18938 ÷ 217
    18938 ÷ 131072     		y = 0.144485473632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629013061523438 × 2 - 1) × π
    0.258026123046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.81061297
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144485473632812 × 2 - 1) × π
    0.711029052734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.23376364849538
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81061297} λ = 0.81061297}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23376364849538))-π/2
    2×atan(9.33493345570546)-π/2
    2×1.46407881134732-π/2
    2.92815762269463-1.57079632675     		φ = 1.35736130
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81061297} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.444702°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35736130 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.771074°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82446 KachelY 18938 0.81061297 1.35736130 46.444702 77.771074
    Oben rechts KachelX + 1 82447 KachelY 18938 0.81066091 1.35736130 46.447449 77.771074
    Unten links KachelX 82446 KachelY + 1 18939 0.81061297 1.35735114 46.444702 77.770492
    Unten rechts KachelX + 1 82447 KachelY + 1 18939 0.81066091 1.35735114 46.447449 77.770492
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35736130-1.35735114) × R
    1.01599999999813e-05 × 6371000     		dl = 64.7293599998808m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35736130-1.35735114) × R
    1.01599999999813e-05 × 6371000     		dr = 64.7293599998808m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81061297-0.81066091) × cos(1.35736130) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.211818225787001 × 6371000     		do = 64.6947383564395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81061297-0.81066091) × cos(1.35735114) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.211828155236328 × 6371000     		du = 64.6977710658481m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35736130)-sin(1.35735114))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211818225787001-0.211828155236328)×R²
    abs(0.81066091-0.81061297)×9.92944932723394e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.92944932723394e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.92944932723394e-06×40589641000000     		ar = 4187.74716173495m²