Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82442 / 15866
↖ ↑ ↗
← N 79.435392°
E 46.433716°		 ← 56 m → N 79.435392°
E 46.436462°		 →
↑
56 m
↓
↑
56 m
↓
N 79.434889°
E 46.433716°		 ← 56 m →
3 136 m²		 N 79.434889°
E 46.436462°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82442 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15866 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628986358642578 y=0.121051788330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628986358642578 × 217)
    floor (0.628986358642578 × 131072)
    floor (82442.5)     		tx = 82442
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121051788330078 × 217)
    floor (0.121051788330078 × 131072)
    floor (15866.5)     		ty = 15866
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82442 / 15866 ti = "17/82442/15866"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82442/15866.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82442 ÷ 217
    82442 ÷ 131072     		x = 0.628982543945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15866 ÷ 217
    15866 ÷ 131072     		y = 0.121047973632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628982543945312 × 2 - 1) × π
    0.257965087890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81042122
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121047973632812 × 2 - 1) × π
    0.757904052734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.38102580412819
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81042122} λ = 0.81042122}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38102580412819))-π/2
    2×atan(10.8159922646979)-π/2
    2×1.47860273517389-π/2
    2.95720547034778-1.57079632675     		φ = 1.38640914
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81042122} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.433716°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38640914 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.435392°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82442 KachelY 15866 0.81042122 1.38640914 46.433716 79.435392
    Oben rechts KachelX + 1 82443 KachelY 15866 0.81046916 1.38640914 46.436462 79.435392
    Unten links KachelX 82442 KachelY + 1 15867 0.81042122 1.38640035 46.433716 79.434889
    Unten rechts KachelX + 1 82443 KachelY + 1 15867 0.81046916 1.38640035 46.436462 79.434889
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38640914-1.38640035) × R
    8.79000000009178e-06 × 6371000     		dl = 56.0010900005847m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38640914-1.38640035) × R
    8.79000000009178e-06 × 6371000     		dr = 56.0010900005847m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81042122-0.81046916) × cos(1.38640914) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.18334414271194 × 6371000     		do = 55.9980204624231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81042122-0.81046916) × cos(1.38640035) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.183352783703729 × 6371000     		du = 56.0006596437347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38640914)-sin(1.38640035))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18334414271194-0.183352783703729)×R²
    abs(0.81046916-0.81042122)×8.64099178921052e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.64099178921052e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.64099178921052e-06×40589641000000     		ar = 3136.02408229039m²