Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82441 / 18953
↖ ↑ ↗
← N 77.762344°
E 46.430969°		 ← 64.73 m → N 77.762344°
E 46.433716°		 →
↑
64.73 m
↓
↑
64.73 m
↓
N 77.761761°
E 46.430969°		 ← 64.73 m →
4 190 m²		 N 77.761761°
E 46.433716°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82441 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18953 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628978729248047 y=0.144603729248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628978729248047 × 217)
    floor (0.628978729248047 × 131072)
    floor (82441.5)     		tx = 82441
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144603729248047 × 217)
    floor (0.144603729248047 × 131072)
    floor (18953.5)     		ty = 18953
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82441 / 18953 ti = "17/82441/18953"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82441/18953.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82441 ÷ 217
    82441 ÷ 131072     		x = 0.628974914550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18953 ÷ 217
    18953 ÷ 131072     		y = 0.144599914550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628974914550781 × 2 - 1) × π
    0.257949829101562 × 3.1415926535     		Λ = 0.81037329
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144599914550781 × 2 - 1) × π
    0.710800170898438 × 3.1415926535     		Φ = 2.23304459500108
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81037329} λ = 0.81037329}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23304459500108))-π/2
    2×atan(9.32822355186408)-π/2
    2×1.46400263026395-π/2
    2.9280052605279-1.57079632675     		φ = 1.35720893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81037329} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.430969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35720893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.762344°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82441 KachelY 18953 0.81037329 1.35720893 46.430969 77.762344
    Oben rechts KachelX + 1 82442 KachelY 18953 0.81042122 1.35720893 46.433716 77.762344
    Unten links KachelX 82441 KachelY + 1 18954 0.81037329 1.35719877 46.430969 77.761761
    Unten rechts KachelX + 1 82442 KachelY + 1 18954 0.81042122 1.35719877 46.433716 77.761761
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35720893-1.35719877) × R
    1.01599999999813e-05 × 6371000     		dl = 64.7293599998808m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35720893-1.35719877) × R
    1.01599999999813e-05 × 6371000     		dr = 64.7293599998808m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81037329-0.81042122) × cos(1.35720893) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.2119671359122 × 6371000     		do = 64.726714915475m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81037329-0.81042122) × cos(1.35719877) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.211977065033493 × 6371000     		du = 64.7297468921091m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35720893)-sin(1.35719877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.2119671359122-0.211977065033493)×R²
    abs(0.81042122-0.81037329)×9.92912129288426e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.92912129288426e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.92912129288426e-06×40589641000000     		ar = 4189.81696048288m²