Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82440 / 14862
↖ ↑ ↗
← N 79.929197°
E 46.428223°		 ← 53.41 m → N 79.929197°
E 46.430969°		 →
↑
53.39 m
↓
↑
53.39 m
↓
N 79.928717°
E 46.428223°		 ← 53.41 m →
2 851 m²		 N 79.928717°
E 46.430969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14862 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628971099853516 y=0.113391876220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628971099853516 × 217)
    floor (0.628971099853516 × 131072)
    floor (82440.5)     		tx = 82440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113391876220703 × 217)
    floor (0.113391876220703 × 131072)
    floor (14862.5)     		ty = 14862
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82440 / 14862 ti = "17/82440/14862"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82440/14862.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82440 ÷ 217
    82440 ÷ 131072     		x = 0.62896728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14862 ÷ 217
    14862 ÷ 131072     		y = 0.113388061523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62896728515625 × 2 - 1) × π
    0.2579345703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.81032535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113388061523438 × 2 - 1) × π
    0.773223876953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.42915445134673
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81032535} λ = 0.81032535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42915445134673))-π/2
    2×atan(11.3492816519425)-π/2
    2×1.48291198736474-π/2
    2.96582397472948-1.57079632675     		φ = 1.39502765
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81032535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.428223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39502765 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.929197°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82440 KachelY 14862 0.81032535 1.39502765 46.428223 79.929197
    Oben rechts KachelX + 1 82441 KachelY 14862 0.81037329 1.39502765 46.430969 79.929197
    Unten links KachelX 82440 KachelY + 1 14863 0.81032535 1.39501927 46.428223 79.928717
    Unten rechts KachelX + 1 82441 KachelY + 1 14863 0.81037329 1.39501927 46.430969 79.928717
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39502765-1.39501927) × R
    8.38000000014105e-06 × 6371000     		dl = 53.3889800008986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39502765-1.39501927) × R
    8.38000000014105e-06 × 6371000     		dr = 53.3889800008986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81032535-0.81037329) × cos(1.39502765) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.174865022521716 × 6371000     		do = 53.4082789037767m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81032535-0.81037329) × cos(1.39501927) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.174873273400015 × 6371000     		du = 53.4107989343867m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39502765)-sin(1.39501927))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174865022521716-0.174873273400015)×R²
    abs(0.81037329-0.81032535)×8.25087829878224e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.25087829878224e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.25087829878224e-06×40589641000000     		ar = 2851.48080537294m²