Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8244 / 4006
↖ ↑ ↗
← N 67.289015°
E  1.142578°		 ← 943.31 m → N 67.289015°
E  1.164551°		 →
↑
943.48 m
↓
↑
943.48 m
↓
N 67.280531°
E  1.142578°		 ← 943.64 m →
890 151 m²		 N 67.280531°
E  1.164551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8244 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4006 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503204345703125 y=0.244537353515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503204345703125 × 214)
    floor (0.503204345703125 × 16384)
    floor (8244.5)     		tx = 8244
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.244537353515625 × 214)
    floor (0.244537353515625 × 16384)
    floor (4006.5)     		ty = 4006
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8244 / 4006 ti = "14/8244/4006"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8244/4006.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8244 ÷ 214
    8244 ÷ 16384     		x = 0.503173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4006 ÷ 214
    4006 ÷ 16384     		y = 0.2445068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503173828125 × 2 - 1) × π
    0.00634765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.01994175
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2445068359375 × 2 - 1) × π
    0.510986328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.60531089447644
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01994175} λ = 0.01994175}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.60531089447644))-π/2
    2×atan(4.97940743238805)-π/2
    2×1.37260559631824-π/2
    2.74521119263648-1.57079632675     		φ = 1.17441487
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01994175} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.142578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17441487 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.289015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8244 KachelY 4006 0.01994175 1.17441487 1.142578 67.289015
    Oben rechts KachelX + 1 8245 KachelY 4006 0.02032525 1.17441487 1.164551 67.289015
    Unten links KachelX 8244 KachelY + 1 4007 0.01994175 1.17426678 1.142578 67.280531
    Unten rechts KachelX + 1 8245 KachelY + 1 4007 0.02032525 1.17426678 1.164551 67.280531
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17441487-1.17426678) × R
    0.000148090000000156 × 6371000     		dl = 943.481390000995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17441487-1.17426678) × R
    0.000148090000000156 × 6371000     		dr = 943.481390000995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01994175-0.02032525) × cos(1.17441487) × R
    0.000383499999999998 × 0.386082901089869 × 6371000     		do = 943.308051450498m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01994175-0.02032525) × cos(1.17426678) × R
    0.000383499999999998 × 0.386219504562624 × 6371000     		du = 943.641811778507m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17441487)-sin(1.17426678))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.386082901089869-0.386219504562624)×R²
    abs(0.02032525-0.01994175)×0.000136603472755514×R²
    0.000383499999999998×0.000136603472755514×6371000²
    0.000383499999999998×0.000136603472755514×40589641000000     		ar = 890151.041538059m²