Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82438 / 14865
↖ ↑ ↗
← N 79.927756°
E 46.422730°		 ← 53.40 m → N 79.927756°
E 46.425476°		 →
↑
53.45 m
↓
↑
53.45 m
↓
N 79.927275°
E 46.422730°		 ← 53.41 m →
2 855 m²		 N 79.927275°
E 46.425476°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82438 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14865 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628955841064453 y=0.113414764404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628955841064453 × 217)
    floor (0.628955841064453 × 131072)
    floor (82438.5)     		tx = 82438
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113414764404297 × 217)
    floor (0.113414764404297 × 131072)
    floor (14865.5)     		ty = 14865
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82438 / 14865 ti = "17/82438/14865"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82438/14865.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82438 ÷ 217
    82438 ÷ 131072     		x = 0.628952026367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14865 ÷ 217
    14865 ÷ 131072     		y = 0.113410949707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628952026367188 × 2 - 1) × π
    0.257904052734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.81022948
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113410949707031 × 2 - 1) × π
    0.773178100585938 × 3.1415926535     		Φ = 2.42901064064787
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81022948} λ = 0.81022948}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42901064064787))-π/2
    2×atan(11.3476496211711)-π/2
    2×1.48289941274382-π/2
    2.96579882548763-1.57079632675     		φ = 1.39500250
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81022948} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.422730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39500250 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.927756°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82438 KachelY 14865 0.81022948 1.39500250 46.422730 79.927756
    Oben rechts KachelX + 1 82439 KachelY 14865 0.81027741 1.39500250 46.425476 79.927756
    Unten links KachelX 82438 KachelY + 1 14866 0.81022948 1.39499411 46.422730 79.927275
    Unten rechts KachelX + 1 82439 KachelY + 1 14866 0.81027741 1.39499411 46.425476 79.927275
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39500250-1.39499411) × R
    8.38999999985823e-06 × 6371000     		dl = 53.4526899990968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39500250-1.39499411) × R
    8.38999999985823e-06 × 6371000     		dr = 53.4526899990968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81022948-0.81027741) × cos(1.39500250) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.17488978496565 × 6371000     		do = 53.4046997634072m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81022948-0.81027741) × cos(1.39499411) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.174898045652957 × 6371000     		du = 53.4072222636523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39500250)-sin(1.39499411))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17488978496565-0.174898045652957)×R²
    abs(0.81027741-0.81022948)×8.26068730649943e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.26068730649943e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.26068730649943e-06×40589641000000     		ar = 2854.69227819138m²