Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82437 / 14517
↖ ↑ ↗
← N 80.093551°
E 46.419983°		 ← 52.55 m → N 80.093551°
E 46.422730°		 →
↑
52.50 m
↓
↑
52.50 m
↓
N 80.093079°
E 46.419983°		 ← 52.55 m →
2 759 m²		 N 80.093079°
E 46.422730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82437 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14517 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628948211669922 y=0.110759735107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628948211669922 × 217)
    floor (0.628948211669922 × 131072)
    floor (82437.5)     		tx = 82437
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110759735107422 × 217)
    floor (0.110759735107422 × 131072)
    floor (14517.5)     		ty = 14517
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82437 / 14517 ti = "17/82437/14517"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82437/14517.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82437 ÷ 217
    82437 ÷ 131072     		x = 0.628944396972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14517 ÷ 217
    14517 ÷ 131072     		y = 0.110755920410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628944396972656 × 2 - 1) × π
    0.257888793945312 × 3.1415926535     		Λ = 0.81018154
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.110755920410156 × 2 - 1) × π
    0.778488159179688 × 3.1415926535     		Φ = 2.44569268171565
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81018154} λ = 0.81018154}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44569268171565))-π/2
    2×atan(11.5385393665809)-π/2
    2×1.48434625532121-π/2
    2.96869251064242-1.57079632675     		φ = 1.39789618
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81018154} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.419983°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39789618 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.093551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82437 KachelY 14517 0.81018154 1.39789618 46.419983 80.093551
    Oben rechts KachelX + 1 82438 KachelY 14517 0.81022948 1.39789618 46.422730 80.093551
    Unten links KachelX 82437 KachelY + 1 14518 0.81018154 1.39788794 46.419983 80.093079
    Unten rechts KachelX + 1 82438 KachelY + 1 14518 0.81022948 1.39788794 46.422730 80.093079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39789618-1.39788794) × R
    8.24000000010372e-06 × 6371000     		dl = 52.4970400006608m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39789618-1.39788794) × R
    8.24000000010372e-06 × 6371000     		dr = 52.4970400006608m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81018154-0.81022948) × cos(1.39789618) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.1720399740797 × 6371000     		do = 52.5454363928388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81018154-0.81022948) × cos(1.39788794) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.172048091215206 × 6371000     		du = 52.5479155749572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39789618)-sin(1.39788794))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.1720399740797-0.172048091215206)×R²
    abs(0.81022948-0.81018154)×8.1171355052756e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.1171355052756e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.1171355052756e-06×40589641000000     		ar = 2758.54495099526m²