Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82436 / 14628
↖ ↑ ↗
← N 80.040964°
E 46.417236°		 ← 52.82 m → N 80.040964°
E 46.419983°		 →
↑
52.82 m
↓
↑
52.82 m
↓
N 80.040489°
E 46.417236°		 ← 52.82 m →
2 790 m²		 N 80.040489°
E 46.419983°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82436 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14628 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628940582275391 y=0.111606597900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628940582275391 × 217)
    floor (0.628940582275391 × 131072)
    floor (82436.5)     		tx = 82436
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111606597900391 × 217)
    floor (0.111606597900391 × 131072)
    floor (14628.5)     		ty = 14628
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82436 / 14628 ti = "17/82436/14628"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82436/14628.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82436 ÷ 217
    82436 ÷ 131072     		x = 0.628936767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14628 ÷ 217
    14628 ÷ 131072     		y = 0.111602783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628936767578125 × 2 - 1) × π
    0.25787353515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81013360
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111602783203125 × 2 - 1) × π
    0.77679443359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.44037168585782
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81013360} λ = 0.81013360}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44037168585782))-π/2
    2×atan(11.4773059023858)-π/2
    2×1.483887341717-π/2
    2.96777468343401-1.57079632675     		φ = 1.39697836
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81013360} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.417236°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39697836 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.040964°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82436 KachelY 14628 0.81013360 1.39697836 46.417236 80.040964
    Oben rechts KachelX + 1 82437 KachelY 14628 0.81018154 1.39697836 46.419983 80.040964
    Unten links KachelX 82436 KachelY + 1 14629 0.81013360 1.39697007 46.417236 80.040489
    Unten rechts KachelX + 1 82437 KachelY + 1 14629 0.81018154 1.39697007 46.419983 80.040489
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39697836-1.39697007) × R
    8.29000000002189e-06 × 6371000     		dl = 52.8155900001395m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39697836-1.39697007) × R
    8.29000000002189e-06 × 6371000     		dr = 52.8155900001395m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81013360-0.81018154) × cos(1.39697836) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.172944036765568 × 6371000     		do = 52.8215604076762m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81013360-0.81018154) × cos(1.39697007) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.172952201843025 × 6371000     		du = 52.8240542325005m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39697836)-sin(1.39697007))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172944036765568-0.172952201843025)×R²
    abs(0.81018154-0.81013360)×8.16507745665662e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.16507745665662e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.16507745665662e-06×40589641000000     		ar = 2789.86773403848m²