Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82434 / 14502
↖ ↑ ↗
← N 80.100637°
E 46.411743°		 ← 52.51 m → N 80.100637°
E 46.414490°		 →
↑
52.56 m
↓
↑
52.56 m
↓
N 80.100164°
E 46.411743°		 ← 52.51 m →
2 760 m²		 N 80.100164°
E 46.414490°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82434 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14502 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628925323486328 y=0.110645294189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628925323486328 × 217)
    floor (0.628925323486328 × 131072)
    floor (82434.5)     		tx = 82434
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110645294189453 × 217)
    floor (0.110645294189453 × 131072)
    floor (14502.5)     		ty = 14502
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82434 / 14502 ti = "17/82434/14502"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82434/14502.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82434 ÷ 217
    82434 ÷ 131072     		x = 0.628921508789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14502 ÷ 217
    14502 ÷ 131072     		y = 0.110641479492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628921508789062 × 2 - 1) × π
    0.257843017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.81003773
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.110641479492188 × 2 - 1) × π
    0.778717041015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.44641173520995
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81003773} λ = 0.81003773}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44641173520995))-π/2
    2×atan(11.5468391772779)-π/2
    2×1.48440808639089-π/2
    2.96881617278178-1.57079632675     		φ = 1.39801985
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81003773} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.411743°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39801985 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.100637°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82434 KachelY 14502 0.81003773 1.39801985 46.411743 80.100637
    Oben rechts KachelX + 1 82435 KachelY 14502 0.81008567 1.39801985 46.414490 80.100637
    Unten links KachelX 82434 KachelY + 1 14503 0.81003773 1.39801160 46.411743 80.100164
    Unten rechts KachelX + 1 82435 KachelY + 1 14503 0.81008567 1.39801160 46.414490 80.100164
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39801985-1.39801160) × R
    8.25000000004295e-06 × 6371000     		dl = 52.5607500002736m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39801985-1.39801160) × R
    8.25000000004295e-06 × 6371000     		dr = 52.5607500002736m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81003773-0.81008567) × cos(1.39801985) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.171918146687913 × 6371000     		do = 52.5082271715501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81003773-0.81008567) × cos(1.39801160) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.171926273849775 × 6371000     		du = 52.5107094159756m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39801985)-sin(1.39801160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.171918146687913-0.171926273849775)×R²
    abs(0.81008567-0.81003773)×8.12716186121554e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.12716186121554e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.12716186121554e-06×40589641000000     		ar = 2759.93703568461m²