Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82430 / 15870
↖ ↑ ↗
← N 79.433378°
E 46.400757°		 ← 56.01 m → N 79.433378°
E 46.403503°		 →
↑
56 m
↓
↑
56 m
↓
N 79.432874°
E 46.400757°		 ← 56.01 m →
3 137 m²		 N 79.432874°
E 46.403503°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82430 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15870 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628894805908203 y=0.121082305908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628894805908203 × 217)
    floor (0.628894805908203 × 131072)
    floor (82430.5)     		tx = 82430
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121082305908203 × 217)
    floor (0.121082305908203 × 131072)
    floor (15870.5)     		ty = 15870
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82430 / 15870 ti = "17/82430/15870"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82430/15870.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82430 ÷ 217
    82430 ÷ 131072     		x = 0.628890991210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15870 ÷ 217
    15870 ÷ 131072     		y = 0.121078491210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628890991210938 × 2 - 1) × π
    0.257781982421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.80984598
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121078491210938 × 2 - 1) × π
    0.757843017578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.38083405652971
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80984598} λ = 0.80984598}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38083405652971))-π/2
    2×atan(10.8139185229798)-π/2
    2×1.4785851556179-π/2
    2.95717031123581-1.57079632675     		φ = 1.38637398
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80984598} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.400757°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38637398 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.433378°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82430 KachelY 15870 0.80984598 1.38637398 46.400757 79.433378
    Oben rechts KachelX + 1 82431 KachelY 15870 0.80989392 1.38637398 46.403503 79.433378
    Unten links KachelX 82430 KachelY + 1 15871 0.80984598 1.38636519 46.400757 79.432874
    Unten rechts KachelX + 1 82431 KachelY + 1 15871 0.80989392 1.38636519 46.403503 79.432874
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38637398-1.38636519) × R
    8.78999999986974e-06 × 6371000     		dl = 56.0010899991701m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38637398-1.38636519) × R
    8.78999999986974e-06 × 6371000     		dr = 56.0010899991701m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80984598-0.80989392) × cos(1.38637398) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.183378706594094 × 6371000     		do = 56.0085771618371m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80984598-0.80989392) × cos(1.38636519) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.183387347529213 × 6371000     		du = 56.01121632584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38637398)-sin(1.38636519))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183378706594094-0.183387347529213)×R²
    abs(0.80989392-0.80984598)×8.64093511865338e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.64093511865338e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.64093511865338e-06×40589641000000     		ar = 3136.61526853883m²