Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8243 / 7925
↖ ↑ ↗
← N 79.443446°
W134.719849°		 ← 111.91 m → N 79.443446°
W134.714355°		 →
↑
111.87 m
↓
↑
111.87 m
↓
N 79.442440°
W134.719849°		 ← 111.92 m →
12 521 m²		 N 79.442440°
W134.714355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8243 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7925 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.125785827636719 y=0.120933532714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.125785827636719 × 216)
    floor (0.125785827636719 × 65536)
    floor (8243.5)     		tx = 8243
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120933532714844 × 216)
    floor (0.120933532714844 × 65536)
    floor (7925.5)     		ty = 7925
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8243 / 7925 ti = "16/8243/7925"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8243/7925.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8243 ÷ 216
    8243 ÷ 65536     		x = 0.125778198242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7925 ÷ 216
    7925 ÷ 65536     		y = 0.120925903320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.125778198242188 × 2 - 1) × π
    -0.748443603515625 × 3.1415926535     		Λ = -2.35130493
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120925903320312 × 2 - 1) × π
    0.758148193359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.38179279452211
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35130493} λ = -2.35130493}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38179279452211))-π/2
    2×atan(10.8242912090641)-π/2
    2×1.47867302027002-π/2
    2.95734604054004-1.57079632675     		φ = 1.38654971
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35130493} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.719849°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38654971 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.443446°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8243 KachelY 7925 -2.35130493 1.38654971 -134.719849 79.443446
    Oben rechts KachelX + 1 8244 KachelY 7925 -2.35120905 1.38654971 -134.714355 79.443446
    Unten links KachelX 8243 KachelY + 1 7926 -2.35130493 1.38653215 -134.719849 79.442440
    Unten rechts KachelX + 1 8244 KachelY + 1 7926 -2.35120905 1.38653215 -134.714355 79.442440
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38654971-1.38653215) × R
    1.7559999999861e-05 × 6371000     		dl = 111.874759999115m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38654971-1.38653215) × R
    1.7559999999861e-05 × 6371000     		dr = 111.874759999115m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35130493--2.35120905) × cos(1.38654971) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.183205953732422 × 6371000     		do = 111.911627982188m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35130493--2.35120905) × cos(1.38653215) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.183223216493341 × 6371000     		du = 111.922172965244m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38654971)-sin(1.38653215))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183205953732422-0.183223216493341)×R²
    abs(-2.35120905--2.35130493)×1.72627609192622e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.72627609192622e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.72627609192622e-05×40589641000000     		ar = 12520.6763808809m²