Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8243 / 4629
↖ ↑ ↗
← N 61.386198°
E  1.120606°		 ← 1 170.06 m → N 61.386198°
E  1.142578°		 →
↑
1 170.29 m
↓
↑
1 170.29 m
↓
N 61.375673°
E  1.120606°		 ← 1 170.46 m →
1 369 543 m²		 N 61.375673°
E  1.142578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8243 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4629 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503143310546875 y=0.282562255859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503143310546875 × 214)
    floor (0.503143310546875 × 16384)
    floor (8243.5)     		tx = 8243
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.282562255859375 × 214)
    floor (0.282562255859375 × 16384)
    floor (4629.5)     		ty = 4629
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8243 / 4629 ti = "14/8243/4629"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8243/4629.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8243 ÷ 214
    8243 ÷ 16384     		x = 0.50311279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4629 ÷ 214
    4629 ÷ 16384     		y = 0.28253173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50311279296875 × 2 - 1) × π
    0.0062255859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.01955826
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.28253173828125 × 2 - 1) × π
    0.4349365234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.36639338677008
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01955826} λ = 0.01955826}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.36639338677008))-π/2
    2×atan(3.92118297169523)-π/2
    2×1.32109379740673-π/2
    2.64218759481346-1.57079632675     		φ = 1.07139127
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01955826} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.120606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07139127 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.386198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8243 KachelY 4629 0.01955826 1.07139127 1.120606 61.386198
    Oben rechts KachelX + 1 8244 KachelY 4629 0.01994175 1.07139127 1.142578 61.386198
    Unten links KachelX 8243 KachelY + 1 4630 0.01955826 1.07120758 1.120606 61.375673
    Unten rechts KachelX + 1 8244 KachelY + 1 4630 0.01994175 1.07120758 1.142578 61.375673
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07139127-1.07120758) × R
    0.000183689999999848 × 6371000     		dl = 1170.28898999903m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07139127-1.07120758) × R
    0.000183689999999848 × 6371000     		dr = 1170.28898999903m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01955826-0.01994175) × cos(1.07139127) × R
    0.00038349 × 0.47890334200478 × 6371000     		do = 1170.06372816651m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01955826-0.01994175) × cos(1.07120758) × R
    0.00038349 × 0.479064589430628 × 6371000     		du = 1170.45769026219m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07139127)-sin(1.07120758))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.47890334200478-0.479064589430628)×R²
    abs(0.01994175-0.01955826)×0.000161247425848221×R²
    0.00038349×0.000161247425848221×6371000²
    0.00038349×0.000161247425848221×40589641000000     		ar = 1369543.22727267m²