Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82429 / 18947
↖ ↑ ↗
← N 77.765836°
E 46.398011°		 ← 64.71 m → N 77.765836°
E 46.400757°		 →
↑
64.73 m
↓
↑
64.73 m
↓
N 77.765254°
E 46.398011°		 ← 64.71 m →
4 189 m²		 N 77.765254°
E 46.400757°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82429 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18947 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628887176513672 y=0.144557952880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628887176513672 × 217)
    floor (0.628887176513672 × 131072)
    floor (82429.5)     		tx = 82429
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144557952880859 × 217)
    floor (0.144557952880859 × 131072)
    floor (18947.5)     		ty = 18947
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82429 / 18947 ti = "17/82429/18947"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82429/18947.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82429 ÷ 217
    82429 ÷ 131072     		x = 0.628883361816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18947 ÷ 217
    18947 ÷ 131072     		y = 0.144554138183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628883361816406 × 2 - 1) × π
    0.257766723632812 × 3.1415926535     		Λ = 0.80979805
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144554138183594 × 2 - 1) × π
    0.710891723632812 × 3.1415926535     		Φ = 2.2333322163988
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80979805} λ = 0.80979805}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2333322163988))-π/2
    2×atan(9.33090693444094)-π/2
    2×1.46403310912157-π/2
    2.92806621824314-1.57079632675     		φ = 1.35726989
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80979805} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.398011°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35726989 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.765836°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82429 KachelY 18947 0.80979805 1.35726989 46.398011 77.765836
    Oben rechts KachelX + 1 82430 KachelY 18947 0.80984598 1.35726989 46.400757 77.765836
    Unten links KachelX 82429 KachelY + 1 18948 0.80979805 1.35725973 46.398011 77.765254
    Unten rechts KachelX + 1 82430 KachelY + 1 18948 0.80984598 1.35725973 46.400757 77.765254
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35726989-1.35725973) × R
    1.01599999999813e-05 × 6371000     		dl = 64.7293599998808m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35726989-1.35725973) × R
    1.01599999999813e-05 × 6371000     		dr = 64.7293599998808m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80979805-0.80984598) × cos(1.35726989) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.21190756072499 × 6371000     		do = 64.7085229152209m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80979805-0.80984598) × cos(1.35725973) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.21191748997755 × 6371000     		du = 64.711554931939m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35726989)-sin(1.35725973))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21190756072499-0.21191748997755)×R²
    abs(0.80984598-0.80979805)×9.92925256010357e-06×R²
    4.79299999999183e-05×9.92925256010357e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×9.92925256010357e-06×40589641000000     		ar = 4188.63940518294m²