Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82428 / 18956
↖ ↑ ↗
← N 77.760597°
E 46.395264°		 ← 64.75 m → N 77.760597°
E 46.398011°		 →
↑
64.73 m
↓
↑
64.73 m
↓
N 77.760015°
E 46.395264°		 ← 64.75 m →
4 191 m²		 N 77.760015°
E 46.398011°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82428 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18956 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628879547119141 y=0.144626617431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628879547119141 × 217)
    floor (0.628879547119141 × 131072)
    floor (82428.5)     		tx = 82428
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144626617431641 × 217)
    floor (0.144626617431641 × 131072)
    floor (18956.5)     		ty = 18956
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82428 / 18956 ti = "17/82428/18956"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82428/18956.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82428 ÷ 217
    82428 ÷ 131072     		x = 0.628875732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18956 ÷ 217
    18956 ÷ 131072     		y = 0.144622802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628875732421875 × 2 - 1) × π
    0.25775146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.80975011
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144622802734375 × 2 - 1) × π
    0.71075439453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.23290078430222
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80975011} λ = 0.80975011}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23290078430222))-π/2
    2×atan(9.32688214997225)-π/2
    2×1.46398738762214-π/2
    2.92797477524428-1.57079632675     		φ = 1.35717845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80975011} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.395264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35717845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.760597°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82428 KachelY 18956 0.80975011 1.35717845 46.395264 77.760597
    Oben rechts KachelX + 1 82429 KachelY 18956 0.80979805 1.35717845 46.398011 77.760597
    Unten links KachelX 82428 KachelY + 1 18957 0.80975011 1.35716829 46.395264 77.760015
    Unten rechts KachelX + 1 82429 KachelY + 1 18957 0.80979805 1.35716829 46.398011 77.760015
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35717845-1.35716829) × R
    1.01599999999813e-05 × 6371000     		dl = 64.7293599998808m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35717845-1.35716829) × R
    1.01599999999813e-05 × 6371000     		dr = 64.7293599998808m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80975011-0.80979805) × cos(1.35717845) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.211996923210434 × 6371000     		do = 64.7493171493774m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80975011-0.80979805) × cos(1.35716829) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.212006852266079 × 6371000     		du = 64.7523497385454m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35717845)-sin(1.35716829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211996923210434-0.212006852266079)×R²
    abs(0.80979805-0.80975011)×9.92905564545232e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.92905564545232e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.92905564545232e-06×40589641000000     		ar = 4191.28000837298m²