Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 82426 / 19143
↖ ↑ ↗
← N 77.651235°
E 46.389770°		 ← 65.32 m → N 77.651235°
E 46.392517°		 →
↑
65.30 m
↓
↑
65.30 m
↓
N 77.650648°
E 46.389770°		 ← 65.32 m →
4 266 m²		 N 77.650648°
E 46.392517°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82426 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19143 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628864288330078 y=0.146053314208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628864288330078 × 217)
    floor (0.628864288330078 × 131072)
    floor (82426.5)     		tx = 82426
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146053314208984 × 217)
    floor (0.146053314208984 × 131072)
    floor (19143.5)     		ty = 19143
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82426 / 19143 ti = "17/82426/19143"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82426/19143.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82426 ÷ 217
    82426 ÷ 131072     		x = 0.628860473632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19143 ÷ 217
    19143 ÷ 131072     		y = 0.146049499511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628860473632812 × 2 - 1) × π
    0.257720947265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.80965423
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.146049499511719 × 2 - 1) × π
    0.707901000976562 × 3.1415926535     		Φ = 2.22393658407326
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80965423} λ = 0.80965423}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22393658407326))-π/2
    2×atan(9.24364773322769)-π/2
    2×1.46303302252847-π/2
    2.92606604505693-1.57079632675     		φ = 1.35526972
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80965423} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.389770°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35526972 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.651235°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82426 KachelY 19143 0.80965423 1.35526972 46.389770 77.651235
    Oben rechts KachelX + 1 82427 KachelY 19143 0.80970217 1.35526972 46.392517 77.651235
    Unten links KachelX 82426 KachelY + 1 19144 0.80965423 1.35525947 46.389770 77.650648
    Unten rechts KachelX + 1 82427 KachelY + 1 19144 0.80970217 1.35525947 46.392517 77.650648
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35526972-1.35525947) × R
    1.02499999998784e-05 × 6371000     		dl = 65.3027499992254m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35526972-1.35525947) × R
    1.02499999998784e-05 × 6371000     		dr = 65.3027499992254m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80965423-0.80970217) × cos(1.35526972) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.213861881102456 × 6371000     		do = 65.3189232934669m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80965423-0.80970217) × cos(1.35525947) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.213871893946284 × 6371000     		du = 65.3219814737025m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35526972)-sin(1.35525947))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213861881102456-0.213871893946284)×R²
    abs(0.80970217-0.80965423)×1.00128438278169e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.00128438278169e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.00128438278169e-05×40589641000000     		ar = 4265.605171954m²