Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82423 / 19129
↖ ↑ ↗
← N 77.659456°
E 46.381531°		 ← 65.28 m → N 77.659456°
E 46.384277°		 →
↑
65.30 m
↓
↑
65.30 m
↓
N 77.658869°
E 46.381531°		 ← 65.28 m →
4 263 m²		 N 77.658869°
E 46.384277°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82423 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19129 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628841400146484 y=0.145946502685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628841400146484 × 217)
    floor (0.628841400146484 × 131072)
    floor (82423.5)     		tx = 82423
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145946502685547 × 217)
    floor (0.145946502685547 × 131072)
    floor (19129.5)     		ty = 19129
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82423 / 19129 ti = "17/82423/19129"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82423/19129.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82423 ÷ 217
    82423 ÷ 131072     		x = 0.628837585449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19129 ÷ 217
    19129 ÷ 131072     		y = 0.145942687988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628837585449219 × 2 - 1) × π
    0.257675170898438 × 3.1415926535     		Λ = 0.80951042
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145942687988281 × 2 - 1) × π
    0.708114624023438 × 3.1415926535     		Φ = 2.22460770066795
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80951042} λ = 0.80951042}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22460770066795))-π/2
    2×atan(9.24985338074044)-π/2
    2×1.46310476213904-π/2
    2.92620952427807-1.57079632675     		φ = 1.35541320
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80951042} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.381531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35541320 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.659456°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82423 KachelY 19129 0.80951042 1.35541320 46.381531 77.659456
    Oben rechts KachelX + 1 82424 KachelY 19129 0.80955836 1.35541320 46.384277 77.659456
    Unten links KachelX 82423 KachelY + 1 19130 0.80951042 1.35540295 46.381531 77.658869
    Unten rechts KachelX + 1 82424 KachelY + 1 19130 0.80955836 1.35540295 46.384277 77.658869
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35541320-1.35540295) × R
    1.02500000001005e-05 × 6371000     		dl = 65.30275000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35541320-1.35540295) × R
    1.02500000001005e-05 × 6371000     		dr = 65.30275000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80951042-0.80955836) × cos(1.35541320) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.213721718468005 × 6371000     		do = 65.2761140172703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80951042-0.80955836) × cos(1.35540295) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.213731731626257 × 6371000     		du = 65.2791722935394m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35541320)-sin(1.35540295))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213721718468005-0.213731731626257)×R²
    abs(0.80955836-0.80951042)×1.00131582525809e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.00131582525809e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.00131582525809e-05×40589641000000     		ar = 4262.80961150868m²