Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82418 / 19246
↖ ↑ ↗
← N 77.590587°
E 46.367798°		 ← 65.63 m → N 77.590587°
E 46.370545°		 →
↑
65.62 m
↓
↑
65.62 m
↓
N 77.589997°
E 46.367798°		 ← 65.64 m →
4 307 m²		 N 77.589997°
E 46.370545°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82418 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19246 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628803253173828 y=0.146839141845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628803253173828 × 217)
    floor (0.628803253173828 × 131072)
    floor (82418.5)     		tx = 82418
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146839141845703 × 217)
    floor (0.146839141845703 × 131072)
    floor (19246.5)     		ty = 19246
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82418 / 19246 ti = "17/82418/19246"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82418/19246.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82418 ÷ 217
    82418 ÷ 131072     		x = 0.628799438476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19246 ÷ 217
    19246 ÷ 131072     		y = 0.146835327148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628799438476562 × 2 - 1) × π
    0.257598876953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.80927074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.146835327148438 × 2 - 1) × π
    0.706329345703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.2189990834124
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80927074} λ = 0.80927074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2189990834124))-π/2
    2×atan(9.19811970626129)-π/2
    2×1.46250377570999-π/2
    2.92500755141998-1.57079632675     		φ = 1.35421122
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80927074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.367798°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35421122 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.590587°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82418 KachelY 19246 0.80927074 1.35421122 46.367798 77.590587
    Oben rechts KachelX + 1 82419 KachelY 19246 0.80931868 1.35421122 46.370545 77.590587
    Unten links KachelX 82418 KachelY + 1 19247 0.80927074 1.35420092 46.367798 77.589997
    Unten rechts KachelX + 1 82419 KachelY + 1 19247 0.80931868 1.35420092 46.370545 77.589997
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35421122-1.35420092) × R
    1.03000000000186e-05 × 6371000     		dl = 65.6213000001187m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35421122-1.35420092) × R
    1.03000000000186e-05 × 6371000     		dr = 65.6213000001187m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80927074-0.80931868) × cos(1.35421122) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.214895771548766 × 6371000     		do = 65.6347000481097m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80927074-0.80931868) × cos(1.35420092) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.214905830898348 × 6371000     		du = 65.6377724323998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35421122)-sin(1.35420092))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.214895771548766-0.214905830898348)×R²
    abs(0.80931868-0.80927074)×1.00593495825918e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.00593495825918e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.00593495825918e-05×40589641000000     		ar = 4307.13514935944m²