Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 82416 / 19785
↖ ↑ ↗
← N 77.268408°
E 46.362305°		 ← 67.30 m → N 77.268408°
E 46.365051°		 →
↑
67.28 m
↓
↑
67.28 m
↓
N 77.267803°
E 46.362305°		 ← 67.30 m →
4 528 m²		 N 77.267803°
E 46.365051°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82416 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19785 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628787994384766 y=0.150951385498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628787994384766 × 217)
    floor (0.628787994384766 × 131072)
    floor (82416.5)     		tx = 82416
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150951385498047 × 217)
    floor (0.150951385498047 × 131072)
    floor (19785.5)     		ty = 19785
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82416 / 19785 ti = "17/82416/19785"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82416/19785.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82416 ÷ 217
    82416 ÷ 131072     		x = 0.6287841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19785 ÷ 217
    19785 ÷ 131072     		y = 0.150947570800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6287841796875 × 2 - 1) × π
    0.257568359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.80917487
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150947570800781 × 2 - 1) × π
    0.698104858398438 × 3.1415926535     		Φ = 2.19316109451719
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80917487} λ = 0.80917487}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19316109451719))-π/2
    2×atan(8.96350285760399)-π/2
    2×1.45969222845487-π/2
    2.91938445690974-1.57079632675     		φ = 1.34858813
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80917487} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.362305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34858813 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.268408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82416 KachelY 19785 0.80917487 1.34858813 46.362305 77.268408
    Oben rechts KachelX + 1 82417 KachelY 19785 0.80922280 1.34858813 46.365051 77.268408
    Unten links KachelX 82416 KachelY + 1 19786 0.80917487 1.34857757 46.362305 77.267803
    Unten rechts KachelX + 1 82417 KachelY + 1 19786 0.80922280 1.34857757 46.365051 77.267803
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34858813-1.34857757) × R
    1.05599999999928e-05 × 6371000     		dl = 67.2777599999541m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34858813-1.34857757) × R
    1.05599999999928e-05 × 6371000     		dr = 67.2777599999541m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80917487-0.80922280) × cos(1.34858813) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.22038406289118 × 6371000     		do = 67.2969248241396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80917487-0.80922280) × cos(1.34857757) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.220394363242035 × 6371000     		du = 67.3000701601865m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34858813)-sin(1.34857757))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22038406289118-0.220394363242035)×R²
    abs(0.80922280-0.80917487)×1.03003508553912e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.03003508553912e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.03003508553912e-05×40589641000000     		ar = 4527.69216284365m²