Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82414 / 19946
↖ ↑ ↗
← N 77.170586°
E 46.356811°		 ← 67.82 m → N 77.170586°
E 46.359558°		 →
↑
67.79 m
↓
↑
67.79 m
↓
N 77.169977°
E 46.356811°		 ← 67.82 m →
4 597 m²		 N 77.169977°
E 46.359558°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82414 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19946 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628772735595703 y=0.152179718017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628772735595703 × 217)
    floor (0.628772735595703 × 131072)
    floor (82414.5)     		tx = 82414
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152179718017578 × 217)
    floor (0.152179718017578 × 131072)
    floor (19946.5)     		ty = 19946
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82414 / 19946 ti = "17/82414/19946"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82414/19946.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82414 ÷ 217
    82414 ÷ 131072     		x = 0.628768920898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19946 ÷ 217
    19946 ÷ 131072     		y = 0.152175903320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628768920898438 × 2 - 1) × π
    0.257537841796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.80907899
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152175903320312 × 2 - 1) × π
    0.695648193359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.18544325367836
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80907899} λ = 0.80907899}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18544325367836))-π/2
    2×atan(8.89459023956457)-π/2
    2×1.45883857515207-π/2
    2.91767715030413-1.57079632675     		φ = 1.34688082
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80907899} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.356811°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34688082 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.170586°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82414 KachelY 19946 0.80907899 1.34688082 46.356811 77.170586
    Oben rechts KachelX + 1 82415 KachelY 19946 0.80912693 1.34688082 46.359558 77.170586
    Unten links KachelX 82414 KachelY + 1 19947 0.80907899 1.34687018 46.356811 77.169977
    Unten rechts KachelX + 1 82415 KachelY + 1 19947 0.80912693 1.34687018 46.359558 77.169977
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34688082-1.34687018) × R
    1.06399999999507e-05 × 6371000     		dl = 67.7874399996858m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34688082-1.34687018) × R
    1.06399999999507e-05 × 6371000     		dr = 67.7874399996858m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80907899-0.80912693) × cos(1.34688082) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.22204907355295 × 6371000     		do = 67.8195026061797m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80907899-0.80912693) × cos(1.34687018) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.222059447918006 × 6371000     		du = 67.822671204304m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34688082)-sin(1.34687018))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22204907355295-0.222059447918006)×R²
    abs(0.80912693-0.80907899)×1.03743650561872e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.03743650561872e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.03743650561872e-05×40589641000000     		ar = 4597.41785953037m²