Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82413 / 19941
↖ ↑ ↗
← N 77.173636°
E 46.354065°		 ← 67.80 m → N 77.173636°
E 46.356811°		 →
↑
67.79 m
↓
↑
67.79 m
↓
N 77.173026°
E 46.354065°		 ← 67.81 m →
4 596 m²		 N 77.173026°
E 46.356811°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82413 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19941 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628765106201172 y=0.152141571044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628765106201172 × 217)
    floor (0.628765106201172 × 131072)
    floor (82413.5)     		tx = 82413
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152141571044922 × 217)
    floor (0.152141571044922 × 131072)
    floor (19941.5)     		ty = 19941
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82413 / 19941 ti = "17/82413/19941"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82413/19941.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82413 ÷ 217
    82413 ÷ 131072     		x = 0.628761291503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19941 ÷ 217
    19941 ÷ 131072     		y = 0.152137756347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628761291503906 × 2 - 1) × π
    0.257522583007812 × 3.1415926535     		Λ = 0.80903105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152137756347656 × 2 - 1) × π
    0.695724487304688 × 3.1415926535     		Φ = 2.18568293817646
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80903105} λ = 0.80903105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18568293817646))-π/2
    2×atan(8.89672239047351)-π/2
    2×1.45886518290277-π/2
    2.91773036580554-1.57079632675     		φ = 1.34693404
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80903105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.354065°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34693404 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.173636°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82413 KachelY 19941 0.80903105 1.34693404 46.354065 77.173636
    Oben rechts KachelX + 1 82414 KachelY 19941 0.80907899 1.34693404 46.356811 77.173636
    Unten links KachelX 82413 KachelY + 1 19942 0.80903105 1.34692340 46.354065 77.173026
    Unten rechts KachelX + 1 82414 KachelY + 1 19942 0.80907899 1.34692340 46.356811 77.173026
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34693404-1.34692340) × R
    1.06399999999507e-05 × 6371000     		dl = 67.7874399996858m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34693404-1.34692340) × R
    1.06399999999507e-05 × 6371000     		dr = 67.7874399996858m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80903105-0.80907899) × cos(1.34693404) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.221997181849675 × 6371000     		do = 67.8036535444641m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80903105-0.80907899) × cos(1.34692340) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.222007556340457 × 6371000     		du = 67.8068221809883m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34693404)-sin(1.34692340))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.221997181849675-0.222007556340457)×R²
    abs(0.80907899-0.80903105)×1.03744907821168e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.03744907821168e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.03744907821168e-05×40589641000000     		ar = 4596.34349316379m²