Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82407 / 14634
↖ ↑ ↗
← N 80.038114°
E 46.337585°		 ← 52.84 m → N 80.038114°
E 46.340332°		 →
↑
52.88 m
↓
↑
52.88 m
↓
N 80.037638°
E 46.337585°		 ← 52.84 m →
2 794 m²		 N 80.037638°
E 46.340332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82407 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14634 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628719329833984 y=0.111652374267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628719329833984 × 217)
    floor (0.628719329833984 × 131072)
    floor (82407.5)     		tx = 82407
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111652374267578 × 217)
    floor (0.111652374267578 × 131072)
    floor (14634.5)     		ty = 14634
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82407 / 14634 ti = "17/82407/14634"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82407/14634.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82407 ÷ 217
    82407 ÷ 131072     		x = 0.628715515136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14634 ÷ 217
    14634 ÷ 131072     		y = 0.111648559570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628715515136719 × 2 - 1) × π
    0.257431030273438 × 3.1415926535     		Λ = 0.80874343
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111648559570312 × 2 - 1) × π
    0.776702880859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.4400840644601
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80874343} λ = 0.80874343}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4400840644601))-π/2
    2×atan(11.4740052583107)-π/2
    2×1.48386246699057-π/2
    2.96772493398113-1.57079632675     		φ = 1.39692861
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80874343} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.337585°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39692861 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.038114°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82407 KachelY 14634 0.80874343 1.39692861 46.337585 80.038114
    Oben rechts KachelX + 1 82408 KachelY 14634 0.80879137 1.39692861 46.340332 80.038114
    Unten links KachelX 82407 KachelY + 1 14635 0.80874343 1.39692031 46.337585 80.037638
    Unten rechts KachelX + 1 82408 KachelY + 1 14635 0.80879137 1.39692031 46.340332 80.037638
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39692861-1.39692031) × R
    8.29999999996112e-06 × 6371000     		dl = 52.8792999997523m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39692861-1.39692031) × R
    8.29999999996112e-06 × 6371000     		dr = 52.8792999997523m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80874343-0.80879137) × cos(1.39692861) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.172993036901237 × 6371000     		do = 52.8365263103731m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80874343-0.80879137) × cos(1.39692031) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.173001211756571 × 6371000     		du = 52.8390231216129m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39692861)-sin(1.39692031))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172993036901237-0.173001211756571)×R²
    abs(0.80879137-0.80874343)×8.17485533405327e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.17485533405327e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.17485533405327e-06×40589641000000     		ar = 2794.0245404488m²