Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82404 / 19860
↖ ↑ ↗
← N 77.222931°
E 46.329346°		 ← 67.55 m → N 77.222931°
E 46.332092°		 →
↑
67.53 m
↓
↑
67.53 m
↓
N 77.222323°
E 46.329346°		 ← 67.55 m →
4 562 m²		 N 77.222323°
E 46.332092°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82404 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19860 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628696441650391 y=0.151523590087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628696441650391 × 217)
    floor (0.628696441650391 × 131072)
    floor (82404.5)     		tx = 82404
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151523590087891 × 217)
    floor (0.151523590087891 × 131072)
    floor (19860.5)     		ty = 19860
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82404 / 19860 ti = "17/82404/19860"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82404/19860.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82404 ÷ 217
    82404 ÷ 131072     		x = 0.628692626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19860 ÷ 217
    19860 ÷ 131072     		y = 0.151519775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628692626953125 × 2 - 1) × π
    0.25738525390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.80859962
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151519775390625 × 2 - 1) × π
    0.69696044921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.18956582704568
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80859962} λ = 0.80859962}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18956582704568))-π/2
    2×atan(8.93133452887277)-π/2
    2×1.4592953631994-π/2
    2.91859072639881-1.57079632675     		φ = 1.34779440
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80859962} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.329346°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34779440 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.222931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82404 KachelY 19860 0.80859962 1.34779440 46.329346 77.222931
    Oben rechts KachelX + 1 82405 KachelY 19860 0.80864756 1.34779440 46.332092 77.222931
    Unten links KachelX 82404 KachelY + 1 19861 0.80859962 1.34778380 46.329346 77.222323
    Unten rechts KachelX + 1 82405 KachelY + 1 19861 0.80864756 1.34778380 46.332092 77.222323
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34779440-1.34778380) × R
    1.05999999999717e-05 × 6371000     		dl = 67.53259999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34779440-1.34778380) × R
    1.05999999999717e-05 × 6371000     		dr = 67.53259999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80859962-0.80864756) × cos(1.34779440) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.221158208088661 × 6371000     		do = 67.5474093626654m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80859962-0.80864756) × cos(1.34778380) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.22116854559844 × 6371000     		du = 67.5505667042395m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34779440)-sin(1.34778380))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.221158208088661-0.22116854559844)×R²
    abs(0.80864756-0.80859962)×1.0337509779218e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.0337509779218e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.0337509779218e-05×40589641000000     		ar = 4561.75878934116m²