Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82403 / 19170
↖ ↑ ↗
← N 77.635365°
E 46.326599°		 ← 65.39 m → N 77.635365°
E 46.329346°		 →
↑
65.37 m
↓
↑
65.37 m
↓
N 77.634777°
E 46.326599°		 ← 65.39 m →
4 274 m²		 N 77.634777°
E 46.329346°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82403 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19170 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628688812255859 y=0.146259307861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628688812255859 × 217)
    floor (0.628688812255859 × 131072)
    floor (82403.5)     		tx = 82403
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146259307861328 × 217)
    floor (0.146259307861328 × 131072)
    floor (19170.5)     		ty = 19170
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82403 / 19170 ti = "17/82403/19170"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82403/19170.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82403 ÷ 217
    82403 ÷ 131072     		x = 0.628684997558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19170 ÷ 217
    19170 ÷ 131072     		y = 0.146255493164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628684997558594 × 2 - 1) × π
    0.257369995117188 × 3.1415926535     		Λ = 0.80855169
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.146255493164062 × 2 - 1) × π
    0.707489013671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.22264228778352
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80855169} λ = 0.80855169}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22264228778352))-π/2
    2×atan(9.23169145341629)-π/2
    2×1.46289453467932-π/2
    2.92578906935864-1.57079632675     		φ = 1.35499274
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80855169} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.326599°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35499274 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.635365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82403 KachelY 19170 0.80855169 1.35499274 46.326599 77.635365
    Oben rechts KachelX + 1 82404 KachelY 19170 0.80859962 1.35499274 46.329346 77.635365
    Unten links KachelX 82403 KachelY + 1 19171 0.80855169 1.35498248 46.326599 77.634777
    Unten rechts KachelX + 1 82404 KachelY + 1 19171 0.80859962 1.35498248 46.329346 77.634777
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35499274-1.35498248) × R
    1.02599999998176e-05 × 6371000     		dl = 65.3664599988382m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35499274-1.35498248) × R
    1.02599999998176e-05 × 6371000     		dr = 65.3664599988382m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80855169-0.80859962) × cos(1.35499274) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.214132444660865 × 6371000     		do = 65.387917990393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80855169-0.80859962) × cos(1.35498248) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.214142466665156 × 6371000     		du = 65.3909783299678m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35499274)-sin(1.35498248))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.214132444660865-0.214142466665156)×R²
    abs(0.80859962-0.80855169)×1.0022004290372e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.0022004290372e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.0022004290372e-05×40589641000000     		ar = 4274.27674743858m²