Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82402 / 19234
↖ ↑ ↗
← N 77.597669°
E 46.323853°		 ← 65.60 m → N 77.597669°
E 46.326599°		 →
↑
65.62 m
↓
↑
65.62 m
↓
N 77.597079°
E 46.323853°		 ← 65.60 m →
4 305 m²		 N 77.597079°
E 46.326599°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82402 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19234 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628681182861328 y=0.146747589111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628681182861328 × 217)
    floor (0.628681182861328 × 131072)
    floor (82402.5)     		tx = 82402
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146747589111328 × 217)
    floor (0.146747589111328 × 131072)
    floor (19234.5)     		ty = 19234
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82402 / 19234 ti = "17/82402/19234"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82402/19234.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82402 ÷ 217
    82402 ÷ 131072     		x = 0.628677368164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19234 ÷ 217
    19234 ÷ 131072     		y = 0.146743774414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628677368164062 × 2 - 1) × π
    0.257354736328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.80850375
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.146743774414062 × 2 - 1) × π
    0.706512451171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.21957432620784
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80850375} λ = 0.80850375}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21957432620784))-π/2
    2×atan(9.20341238049433)-π/2
    2×1.46256556697182-π/2
    2.92513113394363-1.57079632675     		φ = 1.35433481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80850375} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.323853°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35433481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.597669°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82402 KachelY 19234 0.80850375 1.35433481 46.323853 77.597669
    Oben rechts KachelX + 1 82403 KachelY 19234 0.80855169 1.35433481 46.326599 77.597669
    Unten links KachelX 82402 KachelY + 1 19235 0.80850375 1.35432451 46.323853 77.597079
    Unten rechts KachelX + 1 82403 KachelY + 1 19235 0.80855169 1.35432451 46.326599 77.597079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35433481-1.35432451) × R
    1.02999999997966e-05 × 6371000     		dl = 65.621299998704m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35433481-1.35432451) × R
    1.02999999997966e-05 × 6371000     		dr = 65.621299998704m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80850375-0.80855169) × cos(1.35433481) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.214775067342449 × 6371000     		do = 65.5978338767262m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80850375-0.80855169) × cos(1.35432451) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.214785126965518 × 6371000     		du = 65.6009063445462m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35433481)-sin(1.35432451))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.214775067342449-0.214785126965518)×R²
    abs(0.80855169-0.80850375)×1.00596230692973e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.00596230692973e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.00596230692973e-05×40589641000000     		ar = 4304.71594573499m²