Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82402 / 15938
↖ ↑ ↗
← N 79.399074°
E 46.323853°		 ← 56.19 m → N 79.399074°
E 46.326599°		 →
↑
56.13 m
↓
↑
56.13 m
↓
N 79.398569°
E 46.323853°		 ← 56.19 m →
3 154 m²		 N 79.398569°
E 46.326599°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82402 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15938 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628681182861328 y=0.121601104736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628681182861328 × 217)
    floor (0.628681182861328 × 131072)
    floor (82402.5)     		tx = 82402
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121601104736328 × 217)
    floor (0.121601104736328 × 131072)
    floor (15938.5)     		ty = 15938
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82402 / 15938 ti = "17/82402/15938"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82402/15938.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82402 ÷ 217
    82402 ÷ 131072     		x = 0.628677368164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15938 ÷ 217
    15938 ÷ 131072     		y = 0.121597290039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628677368164062 × 2 - 1) × π
    0.257354736328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.80850375
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121597290039062 × 2 - 1) × π
    0.756805419921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.37757434735555
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80850375} λ = 0.80850375}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37757434735555))-π/2
    2×atan(10.7787256839343)-π/2
    2×1.47828579563353-π/2
    2.95657159126706-1.57079632675     		φ = 1.38577526
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80850375} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.323853°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38577526 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.399074°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82402 KachelY 15938 0.80850375 1.38577526 46.323853 79.399074
    Oben rechts KachelX + 1 82403 KachelY 15938 0.80855169 1.38577526 46.326599 79.399074
    Unten links KachelX 82402 KachelY + 1 15939 0.80850375 1.38576645 46.323853 79.398569
    Unten rechts KachelX + 1 82403 KachelY + 1 15939 0.80855169 1.38576645 46.326599 79.398569
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38577526-1.38576645) × R
    8.80999999997023e-06 × 6371000     		dl = 56.1285099998103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38577526-1.38576645) × R
    8.80999999997023e-06 × 6371000     		dr = 56.1285099998103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80850375-0.80855169) × cos(1.38577526) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.18396724080361 × 6371000     		do = 56.1883306582939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80850375-0.80855169) × cos(1.38576645) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.183975900430696 × 6371000     		du = 56.1909755313049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38577526)-sin(1.38576645))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18396724080361-0.183975900430696)×R²
    abs(0.80855169-0.80850375)×8.65962708637702e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.65962708637702e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.65962708637702e-06×40589641000000     		ar = 3153.8415056294m²