Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82401 / 19235
↖ ↑ ↗
← N 77.597079°
E 46.321106°		 ← 65.60 m → N 77.597079°
E 46.323853°		 →
↑
65.62 m
↓
↑
65.62 m
↓
N 77.596488°
E 46.321106°		 ← 65.60 m →
4 305 m²		 N 77.596488°
E 46.323853°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82401 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19235 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628673553466797 y=0.146755218505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628673553466797 × 217)
    floor (0.628673553466797 × 131072)
    floor (82401.5)     		tx = 82401
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146755218505859 × 217)
    floor (0.146755218505859 × 131072)
    floor (19235.5)     		ty = 19235
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82401 / 19235 ti = "17/82401/19235"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82401/19235.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82401 ÷ 217
    82401 ÷ 131072     		x = 0.628669738769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19235 ÷ 217
    19235 ÷ 131072     		y = 0.146751403808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628669738769531 × 2 - 1) × π
    0.257339477539062 × 3.1415926535     		Λ = 0.80845581
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.146751403808594 × 2 - 1) × π
    0.706497192382812 × 3.1415926535     		Φ = 2.21952638930822
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80845581} λ = 0.80845581}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21952638930822))-π/2
    2×atan(9.20297120801319)-π/2
    2×1.46256041902582-π/2
    2.92512083805164-1.57079632675     		φ = 1.35432451
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80845581} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.321106°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35432451 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.597079°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82401 KachelY 19235 0.80845581 1.35432451 46.321106 77.597079
    Oben rechts KachelX + 1 82402 KachelY 19235 0.80850375 1.35432451 46.323853 77.597079
    Unten links KachelX 82401 KachelY + 1 19236 0.80845581 1.35431421 46.321106 77.596488
    Unten rechts KachelX + 1 82402 KachelY + 1 19236 0.80850375 1.35431421 46.323853 77.596488
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35432451-1.35431421) × R
    1.03000000000186e-05 × 6371000     		dl = 65.6213000001187m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35432451-1.35431421) × R
    1.03000000000186e-05 × 6371000     		dr = 65.6213000001187m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80845581-0.80850375) × cos(1.35432451) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.214785126965518 × 6371000     		do = 65.6009063443943m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80845581-0.80850375) × cos(1.35431421) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.214795186565801 × 6371000     		du = 65.6039788052549m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35432451)-sin(1.35431421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.214785126965518-0.214795186565801)×R²
    abs(0.80850375-0.80845581)×1.00596002829967e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.00596002829967e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.00596002829967e-05×40589641000000     		ar = 4304.91756505694m²