Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82401 / 15905
↖ ↑ ↗
← N 79.415735°
E 46.321106°		 ← 56.10 m → N 79.415735°
E 46.323853°		 →
↑
56.13 m
↓
↑
56.13 m
↓
N 79.415231°
E 46.321106°		 ← 56.10 m →
3 149 m²		 N 79.415231°
E 46.323853°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82401 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15905 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628673553466797 y=0.121349334716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628673553466797 × 217)
    floor (0.628673553466797 × 131072)
    floor (82401.5)     		tx = 82401
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121349334716797 × 217)
    floor (0.121349334716797 × 131072)
    floor (15905.5)     		ty = 15905
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82401 / 15905 ti = "17/82401/15905"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82401/15905.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82401 ÷ 217
    82401 ÷ 131072     		x = 0.628669738769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15905 ÷ 217
    15905 ÷ 131072     		y = 0.121345520019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628669738769531 × 2 - 1) × π
    0.257339477539062 × 3.1415926535     		Λ = 0.80845581
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121345520019531 × 2 - 1) × π
    0.757308959960938 × 3.1415926535     		Φ = 2.37915626504301
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80845581} λ = 0.80845581}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37915626504301))-π/2
    2×atan(10.7957902345406)-π/2
    2×1.47843119307422-π/2
    2.95686238614844-1.57079632675     		φ = 1.38606606
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80845581} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.321106°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38606606 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.415735°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82401 KachelY 15905 0.80845581 1.38606606 46.321106 79.415735
    Oben rechts KachelX + 1 82402 KachelY 15905 0.80850375 1.38606606 46.323853 79.415735
    Unten links KachelX 82401 KachelY + 1 15906 0.80845581 1.38605725 46.321106 79.415231
    Unten rechts KachelX + 1 82402 KachelY + 1 15906 0.80850375 1.38605725 46.323853 79.415231
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38606606-1.38605725) × R
    8.81000000019228e-06 × 6371000     		dl = 56.128510001225m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38606606-1.38605725) × R
    8.81000000019228e-06 × 6371000     		dr = 56.128510001225m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80845581-0.80850375) × cos(1.38606606) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.183681396294354 × 6371000     		do = 56.1010263873996m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80845581-0.80850375) × cos(1.38605725) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.1836900563924 × 6371000     		du = 56.1036714042538m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38606606)-sin(1.38605725))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183681396294354-0.1836900563924)×R²
    abs(0.80850375-0.80845581)×8.66009804606493e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.66009804606493e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.66009804606493e-06×40589641000000     		ar = 3148.94125108154m²