Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82400 / 19238
↖ ↑ ↗
← N 77.595309°
E 46.318360°		 ← 65.60 m → N 77.595309°
E 46.321106°		 →
↑
65.62 m
↓
↑
65.62 m
↓
N 77.594719°
E 46.318360°		 ← 65.60 m →
4 305 m²		 N 77.594719°
E 46.321106°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82400 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19238 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628665924072266 y=0.146778106689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628665924072266 × 217)
    floor (0.628665924072266 × 131072)
    floor (82400.5)     		tx = 82400
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146778106689453 × 217)
    floor (0.146778106689453 × 131072)
    floor (19238.5)     		ty = 19238
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82400 / 19238 ti = "17/82400/19238"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82400/19238.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82400 ÷ 217
    82400 ÷ 131072     		x = 0.628662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19238 ÷ 217
    19238 ÷ 131072     		y = 0.146774291992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628662109375 × 2 - 1) × π
    0.25732421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.80840788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.146774291992188 × 2 - 1) × π
    0.706451416015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.21938257860936
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80840788} λ = 0.80840788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21938257860936))-π/2
    2×atan(9.20164781745332)-π/2
    2×1.46254497374165-π/2
    2.9250899474833-1.57079632675     		φ = 1.35429362
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80840788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.318360°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35429362 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.595309°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82400 KachelY 19238 0.80840788 1.35429362 46.318360 77.595309
    Oben rechts KachelX + 1 82401 KachelY 19238 0.80845581 1.35429362 46.321106 77.595309
    Unten links KachelX 82400 KachelY + 1 19239 0.80840788 1.35428332 46.318360 77.594719
    Unten rechts KachelX + 1 82401 KachelY + 1 19239 0.80845581 1.35428332 46.321106 77.594719
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35429362-1.35428332) × R
    1.03000000000186e-05 × 6371000     		dl = 65.6213000001187m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35429362-1.35428332) × R
    1.03000000000186e-05 × 6371000     		dr = 65.6213000001187m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80840788-0.80845581) × cos(1.35429362) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.214815295931456 × 6371000     		do = 65.5964348407204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80840788-0.80845581) × cos(1.35428332) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.214825355463395 × 6371000     		du = 65.5995066398142m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35429362)-sin(1.35428332))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.214815295931456-0.214825355463395)×R²
    abs(0.80845581-0.80840788)×1.00595319390551e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.00595319390551e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.00595319390551e-05×40589641000000     		ar = 4304.62411722853m²