Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 824 / 176
↖ ↑ ↗
← N 81.518272°
W 35.156250°		 ← 2 882.92 m → N 81.518272°
W 34.980469°		 →
↑
2 887.27 m
↓
↑
2 887.27 m
↓
N 81.492306°
W 35.156250°		 ← 2 891.68 m →
8 336 436 m²		 N 81.492306°
W 34.980469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 824 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 176 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.402587890625 y=0.086181640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.402587890625 × 211)
    floor (0.402587890625 × 2048)
    floor (824.5)     		tx = 824
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.086181640625 × 211)
    floor (0.086181640625 × 2048)
    floor (176.5)     		ty = 176
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 824 / 176 ti = "11/824/176"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/824/176.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 824 ÷ 211
    824 ÷ 2048     		x = 0.40234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 176 ÷ 211
    176 ÷ 2048     		y = 0.0859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40234375 × 2 - 1) × π
    -0.1953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.61359232
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0859375 × 2 - 1) × π
    0.828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.60163141617969
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61359232} λ = -0.61359232}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.60163141617969))-π/2
    2×atan(13.485720921814)-π/2
    2×1.49677928578267-π/2
    2.99355857156534-1.57079632675     		φ = 1.42276224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61359232} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.156250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42276224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.518272°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 824 KachelY 176 -0.61359232 1.42276224 -35.156250 81.518272
    Oben rechts KachelX + 1 825 KachelY 176 -0.61052435 1.42276224 -34.980469 81.518272
    Unten links KachelX 824 KachelY + 1 177 -0.61359232 1.42230905 -35.156250 81.492306
    Unten rechts KachelX + 1 825 KachelY + 1 177 -0.61052435 1.42230905 -34.980469 81.492306
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42276224-1.42230905) × R
    0.000453189999999992 × 6371000     		dl = 2887.27348999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42276224-1.42230905) × R
    0.000453189999999992 × 6371000     		dr = 2887.27348999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61359232--0.61052435) × cos(1.42276224) × R
    0.00306796999999992 × 0.147494006831501 × 6371000     		do = 2882.92329563248m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61359232--0.61052435) × cos(1.42230905) × R
    0.00306796999999992 × 0.147942225107967 × 6371000     		du = 2891.68418659009m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42276224)-sin(1.42230905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147494006831501-0.147942225107967)×R²
    abs(-0.61052435--0.61359232)×0.000448218276466128×R²
    0.00306796999999992×0.000448218276466128×6371000²
    0.00306796999999992×0.000448218276466128×40589641000000     		ar = 8336435.69196m²