Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82395 / 19243
↖ ↑ ↗
← N 77.592358°
E 46.304626°		 ← 65.63 m → N 77.592358°
E 46.307373°		 →
↑
65.62 m
↓
↑
65.62 m
↓
N 77.591768°
E 46.304626°		 ← 65.63 m →
4 307 m²		 N 77.591768°
E 46.307373°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82395 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19243 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628627777099609 y=0.146816253662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628627777099609 × 217)
    floor (0.628627777099609 × 131072)
    floor (82395.5)     		tx = 82395
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146816253662109 × 217)
    floor (0.146816253662109 × 131072)
    floor (19243.5)     		ty = 19243
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82395 / 19243 ti = "17/82395/19243"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82395/19243.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82395 ÷ 217
    82395 ÷ 131072     		x = 0.628623962402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19243 ÷ 217
    19243 ÷ 131072     		y = 0.146812438964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628623962402344 × 2 - 1) × π
    0.257247924804688 × 3.1415926535     		Λ = 0.80816819
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.146812438964844 × 2 - 1) × π
    0.706375122070312 × 3.1415926535     		Φ = 2.21914289411126
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80816819} λ = 0.80816819}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21914289411126))-π/2
    2×atan(9.19944258940454)-π/2
    2×1.46251922678013-π/2
    2.92503845356025-1.57079632675     		φ = 1.35424213
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80816819} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.304626°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35424213 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.592358°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82395 KachelY 19243 0.80816819 1.35424213 46.304626 77.592358
    Oben rechts KachelX + 1 82396 KachelY 19243 0.80821613 1.35424213 46.307373 77.592358
    Unten links KachelX 82395 KachelY + 1 19244 0.80816819 1.35423183 46.304626 77.591768
    Unten rechts KachelX + 1 82396 KachelY + 1 19244 0.80821613 1.35423183 46.307373 77.591768
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35424213-1.35423183) × R
    1.03000000000186e-05 × 6371000     		dl = 65.6213000001187m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35424213-1.35423183) × R
    1.03000000000186e-05 × 6371000     		dr = 65.6213000001187m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80816819-0.80821613) × cos(1.35424213) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.214865583596796 × 6371000     		do = 65.6254798706923m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80816819-0.80821613) × cos(1.35423183) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.214875643014793 × 6371000     		du = 65.6285522758778m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35424213)-sin(1.35423183))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.214865583596796-0.214875643014793)×R²
    abs(0.80821613-0.80816819)×1.00594179963942e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.00594179963942e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.00594179963942e-05×40589641000000     		ar = 4306.53010990451m²