Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82394 / 14662
↖ ↑ ↗
← N 80.024801°
E 46.301880°		 ← 52.91 m → N 80.024801°
E 46.304626°		 →
↑
52.94 m
↓
↑
52.94 m
↓
N 80.024325°
E 46.301880°		 ← 52.91 m →
2 801 m²		 N 80.024325°
E 46.304626°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82394 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14662 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628620147705078 y=0.111865997314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628620147705078 × 217)
    floor (0.628620147705078 × 131072)
    floor (82394.5)     		tx = 82394
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111865997314453 × 217)
    floor (0.111865997314453 × 131072)
    floor (14662.5)     		ty = 14662
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82394 / 14662 ti = "17/82394/14662"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82394/14662.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82394 ÷ 217
    82394 ÷ 131072     		x = 0.628616333007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14662 ÷ 217
    14662 ÷ 131072     		y = 0.111862182617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628616333007812 × 2 - 1) × π
    0.257232666015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.80812025
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111862182617188 × 2 - 1) × π
    0.776275634765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.43874183127074
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80812025} λ = 0.80812025}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43874183127074))-π/2
    2×atan(11.4586147987415)-π/2
    2×1.48374629171719-π/2
    2.96749258343439-1.57079632675     		φ = 1.39669626
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80812025} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.301880°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39669626 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.024801°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82394 KachelY 14662 0.80812025 1.39669626 46.301880 80.024801
    Oben rechts KachelX + 1 82395 KachelY 14662 0.80816819 1.39669626 46.304626 80.024801
    Unten links KachelX 82394 KachelY + 1 14663 0.80812025 1.39668795 46.301880 80.024325
    Unten rechts KachelX + 1 82395 KachelY + 1 14663 0.80816819 1.39668795 46.304626 80.024325
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39669626-1.39668795) × R
    8.30999999990034e-06 × 6371000     		dl = 52.9430099993651m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39669626-1.39668795) × R
    8.30999999990034e-06 × 6371000     		dr = 52.9430099993651m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80812025-0.80816819) × cos(1.39669626) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.173221879099582 × 6371000     		do = 52.9064206081456m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80812025-0.80816819) × cos(1.39668795) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.173230063469883 × 6371000     		du = 52.9089203255013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39669626)-sin(1.39668795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173221879099582-0.173230063469883)×R²
    abs(0.80816819-0.80812025)×8.18437030139507e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.18437030139507e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.18437030139507e-06×40589641000000     		ar = 2801.09132640885m²