Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 82393 / 15915
↖ ↑ ↗
← N 79.410689°
E 46.299133°		 ← 56.12 m → N 79.410689°
E 46.301880°		 →
↑
56.13 m
↓
↑
56.13 m
↓
N 79.410185°
E 46.299133°		 ← 56.12 m →
3 150 m²		 N 79.410185°
E 46.301880°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82393 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15915 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628612518310547 y=0.121425628662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628612518310547 × 217)
    floor (0.628612518310547 × 131072)
    floor (82393.5)     		tx = 82393
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121425628662109 × 217)
    floor (0.121425628662109 × 131072)
    floor (15915.5)     		ty = 15915
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82393 / 15915 ti = "17/82393/15915"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82393/15915.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82393 ÷ 217
    82393 ÷ 131072     		x = 0.628608703613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15915 ÷ 217
    15915 ÷ 131072     		y = 0.121421813964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628608703613281 × 2 - 1) × π
    0.257217407226562 × 3.1415926535     		Λ = 0.80807232
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121421813964844 × 2 - 1) × π
    0.757156372070312 × 3.1415926535     		Φ = 2.37867689604681
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80807232} λ = 0.80807232}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37867689604681))-π/2
    2×atan(10.7906163076219)-π/2
    2×1.4783871571165-π/2
    2.956774314233-1.57079632675     		φ = 1.38597799
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80807232} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.299133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38597799 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.410689°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82393 KachelY 15915 0.80807232 1.38597799 46.299133 79.410689
    Oben rechts KachelX + 1 82394 KachelY 15915 0.80812025 1.38597799 46.301880 79.410689
    Unten links KachelX 82393 KachelY + 1 15916 0.80807232 1.38596918 46.299133 79.410185
    Unten rechts KachelX + 1 82394 KachelY + 1 15916 0.80812025 1.38596918 46.301880 79.410185
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38597799-1.38596918) × R
    8.80999999997023e-06 × 6371000     		dl = 56.1285099998103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38597799-1.38596918) × R
    8.80999999997023e-06 × 6371000     		dr = 56.1285099998103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80807232-0.80812025) × cos(1.38597799) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.183767967144064 × 6371000     		do = 56.115759496119m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80807232-0.80812025) × cos(1.38596918) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.183776627099555 × 6371000     		du = 56.1184039177075m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38597799)-sin(1.38596918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183767967144064-0.183776627099555)×R²
    abs(0.80812025-0.80807232)×8.6599554910971e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.6599554910971e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.6599554910971e-06×40589641000000     		ar = 3149.76818164073m²