Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82387 / 15914
↖ ↑ ↗
← N 79.411194°
E 46.282654°		 ← 56.11 m → N 79.411194°
E 46.285400°		 →
↑
56.13 m
↓
↑
56.13 m
↓
N 79.410689°
E 46.282654°		 ← 56.12 m →
3 150 m²		 N 79.410689°
E 46.285400°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82387 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15914 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628566741943359 y=0.121417999267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628566741943359 × 217)
    floor (0.628566741943359 × 131072)
    floor (82387.5)     		tx = 82387
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121417999267578 × 217)
    floor (0.121417999267578 × 131072)
    floor (15914.5)     		ty = 15914
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82387 / 15914 ti = "17/82387/15914"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82387/15914.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82387 ÷ 217
    82387 ÷ 131072     		x = 0.628562927246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15914 ÷ 217
    15914 ÷ 131072     		y = 0.121414184570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628562927246094 × 2 - 1) × π
    0.257125854492188 × 3.1415926535     		Λ = 0.80778470
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121414184570312 × 2 - 1) × π
    0.757171630859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.37872483294643
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80778470} λ = 0.80778470}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37872483294643))-π/2
    2×atan(10.791133588711)-π/2
    2×1.47839156164608-π/2
    2.95678312329217-1.57079632675     		φ = 1.38598680
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80778470} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.282654°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38598680 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.411194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82387 KachelY 15914 0.80778470 1.38598680 46.282654 79.411194
    Oben rechts KachelX + 1 82388 KachelY 15914 0.80783263 1.38598680 46.285400 79.411194
    Unten links KachelX 82387 KachelY + 1 15915 0.80778470 1.38597799 46.282654 79.410689
    Unten rechts KachelX + 1 82388 KachelY + 1 15915 0.80783263 1.38597799 46.285400 79.410689
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38598680-1.38597799) × R
    8.80999999997023e-06 × 6371000     		dl = 56.1285099998103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38598680-1.38597799) × R
    8.80999999997023e-06 × 6371000     		dr = 56.1285099998103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80778470-0.80783263) × cos(1.38598680) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.18375930717431 × 6371000     		do = 56.1131150701751m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80778470-0.80783263) × cos(1.38597799) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.183767967144064 × 6371000     		du = 56.115759496119m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38598680)-sin(1.38597799))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18375930717431-0.183767967144064)×R²
    abs(0.80783263-0.80778470)×8.65996975443761e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.65996975443761e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.65996975443761e-06×40589641000000     		ar = 3149.61975422574m²