Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82382 / 19763
↖ ↑ ↗
← N 77.281718°
E 46.268921°		 ← 67.24 m → N 77.281718°
E 46.271668°		 →
↑
67.21 m
↓
↑
67.21 m
↓
N 77.281113°
E 46.268921°		 ← 67.24 m →
4 520 m²		 N 77.281113°
E 46.271668°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82382 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19763 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628528594970703 y=0.150783538818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628528594970703 × 217)
    floor (0.628528594970703 × 131072)
    floor (82382.5)     		tx = 82382
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150783538818359 × 217)
    floor (0.150783538818359 × 131072)
    floor (19763.5)     		ty = 19763
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82382 / 19763 ti = "17/82382/19763"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82382/19763.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82382 ÷ 217
    82382 ÷ 131072     		x = 0.628524780273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19763 ÷ 217
    19763 ÷ 131072     		y = 0.150779724121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628524780273438 × 2 - 1) × π
    0.257049560546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.80754501
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150779724121094 × 2 - 1) × π
    0.698440551757812 × 3.1415926535     		Φ = 2.19421570630883
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80754501} λ = 0.80754501}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19421570630883))-π/2
    2×atan(8.97296085979574)-π/2
    2×1.45980837851848-π/2
    2.91961675703696-1.57079632675     		φ = 1.34882043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80754501} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.268921°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34882043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.281718°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82382 KachelY 19763 0.80754501 1.34882043 46.268921 77.281718
    Oben rechts KachelX + 1 82383 KachelY 19763 0.80759295 1.34882043 46.271668 77.281718
    Unten links KachelX 82382 KachelY + 1 19764 0.80754501 1.34880988 46.268921 77.281113
    Unten rechts KachelX + 1 82383 KachelY + 1 19764 0.80759295 1.34880988 46.271668 77.281113
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34882043-1.34880988) × R
    1.05500000000536e-05 × 6371000     		dl = 67.2140500003413m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34882043-1.34880988) × R
    1.05500000000536e-05 × 6371000     		dr = 67.2140500003413m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80754501-0.80759295) × cos(1.34882043) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.220157468466 × 6371000     		do = 67.2417577227107m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80754501-0.80759295) × cos(1.34880988) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.220167759602592 × 6371000     		du = 67.2449009007196m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34882043)-sin(1.34880988))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220157468466-0.220167759602592)×R²
    abs(0.80759295-0.80754501)×1.02911365914282e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.02911365914282e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.02911365914282e-05×40589641000000     		ar = 4519.69649859025m²