Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82381 / 15919
↖ ↑ ↗
← N 79.408670°
E 46.266174°		 ← 56.14 m → N 79.408670°
E 46.268921°		 →
↑
56.13 m
↓
↑
56.13 m
↓
N 79.408165°
E 46.266174°		 ← 56.14 m →
3 151 m²		 N 79.408165°
E 46.268921°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82381 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15919 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628520965576172 y=0.121456146240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628520965576172 × 217)
    floor (0.628520965576172 × 131072)
    floor (82381.5)     		tx = 82381
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121456146240234 × 217)
    floor (0.121456146240234 × 131072)
    floor (15919.5)     		ty = 15919
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82381 / 15919 ti = "17/82381/15919"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82381/15919.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82381 ÷ 217
    82381 ÷ 131072     		x = 0.628517150878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15919 ÷ 217
    15919 ÷ 131072     		y = 0.121452331542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628517150878906 × 2 - 1) × π
    0.257034301757812 × 3.1415926535     		Λ = 0.80749707
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121452331542969 × 2 - 1) × π
    0.757095336914062 × 3.1415926535     		Φ = 2.37848514844833
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80749707} λ = 0.80749707}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37848514844833))-π/2
    2×atan(10.7885474312161)-π/2
    2×1.47836953692258-π/2
    2.95673907384516-1.57079632675     		φ = 1.38594275
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80749707} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.266174°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38594275 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.408670°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82381 KachelY 15919 0.80749707 1.38594275 46.266174 79.408670
    Oben rechts KachelX + 1 82382 KachelY 15919 0.80754501 1.38594275 46.268921 79.408670
    Unten links KachelX 82381 KachelY + 1 15920 0.80749707 1.38593394 46.266174 79.408165
    Unten rechts KachelX + 1 82382 KachelY + 1 15920 0.80754501 1.38593394 46.268921 79.408165
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38594275-1.38593394) × R
    8.80999999997023e-06 × 6371000     		dl = 56.1285099998103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38594275-1.38593394) × R
    8.80999999997023e-06 × 6371000     		dr = 56.1285099998103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80749707-0.80754501) × cos(1.38594275) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.183802606880442 × 6371000     		do = 56.1380472203512m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80749707-0.80754501) × cos(1.38593394) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.183811266778873 × 6371000     		du = 56.1406921762378m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38594275)-sin(1.38593394))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183802606880442-0.183811266778873)×R²
    abs(0.80754501-0.80749707)×8.65989843096271e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.65989843096271e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.65989843096271e-06×40589641000000     		ar = 3151.01917350152m²